Absolutní a relativní odchylka
Finále běhu žen na 100 metrů na olympijských hrách v Atlantě roku 1996 nabídlo mimořádně těsný souboj. Gail Deversová a Merlene Otteyová proběhly cílem téměř současně a oběma byl zaznamenán oficiální čas 10,94 s. Zlatou medaili však získala Deversová: o pořadí rozhodla cílová fotografie, na níž bylo možné porovnat okamžik, kdy trup každé závodnice protnul svislou rovinu cíle.
Zobrazit odpověď
Hodnota 10,94 s je výsledek uvedený na setiny sekundy. Dva nepatrně odlišné časy proto mohou mít po zaokrouhlení stejný zápis. O pořadí lze přesto rozhodnout z cílové fotografie, která zachytí průběh cílem podrobněji než výsledná tabule.
Počet desetinných míst říká, s jakým krokem je výsledek zapsán: poslední uvedená číslice zde odpovídá setině sekundy. Sám o sobě však neurčuje nejistotu měření ani nedokazuje, že skutečné časy byly stejné. Setina sekundy tvoří z času 10,94 s přibližně 0,09 %. Jde o relativní velikost kroku zápisu, nikoli o skutečnou nejistotu časomíry nebo o rozdíl mezi závodnicemi.
Které měření je lepší?
Dva přístroje zvážily dva předměty. První výsledek je m = (80,0 ± 0,1) kg, druhý m = (8,0 ± 0,1) kg. Oba přístroje se mohou od výsledku odchýlit o stejných 0,1 kg. Jsou tedy obě měření stejně přesná?
Rozhodněte dříve, než začnete počítat
Odchylka 0,1 kg tvoří u těžšího předmětu jen malý díl výsledku, zatímco u lehčího předmětu je její podíl desetkrát větší. K porovnání proto potřebujeme kromě absolutní odchylky také relativní odchylku.
Nejprve zopakujme: co nám říká opakované měření?
Stejnou délku jsme za nezměněných podmínek změřili pětkrát. Výsledky nejsou úplně shodné, protože odečítáme stupnici, přikládáme měřidlo a odhadujeme polohu mezi ryskami pokaždé trochu jinak.
| Číslo měření | Délka l [cm] | Odchylka od průměru |li − l| [cm] |
|---|
Aritmetický průměr je l = 29,8 cm.
Největší odchylka jednotlivého měření od průměru je 0,1 cm. V jednoduchém školním zpracování ji můžeme použít jako odhad absolutní odchylky a výsledek zapsat
Zápis říká, že jako nejlepší odhad délky uvádíme 29,8 cm a skutečné hodnotě přisuzujeme interval přibližně od 29,7 cm do 29,9 cm. Neříká, na které straně od průměru skutečná hodnota leží.
Je největší odchylka vždy nejlepší způsob určení nejistoty?
Ne. Je to jednoduchý školní postup vhodný pro první seznámení. Ve fyzikálním praktiku se u opakovaných měření používají statistické charakteristiky, například směrodatná odchylka a nejistota průměru; přidávají se také nejistoty měřidla a další vlivy. Pět stejných nebo velmi blízkých hodnot navíc neodhalí systematickou chybu společnou všem měřením.
Absolutní odchylka
Absolutní odchylka Δx vyjadřuje šířku uvažovaného intervalu kolem výsledku. Má stejnou jednotku jako měřená veličina.
Určete interval hodnot
Pro výsledek t = (12,4 ± 0,3) s doplňte krajní hodnoty.
Relativní odchylka
Relativní odchylka δx porovnává absolutní odchylku s velikostí měřené hodnoty. Je to podíl dvou veličin se stejnou jednotkou, a proto je bezrozměrná. Často ji vyjadřujeme v procentech.
m = (80,0 ± 0,1) kg
δm = 0,1 / 80,0 = 0,00125 = 0,125 %m = (8,0 ± 0,1) kg
δm = 0,1 / 8,0 = 0,0125 = 1,25 %První měření má desetkrát menší relativní odchylku. V tomto smyslu je tedy desetkrát přesnější, přestože obě absolutní odchylky mají hodnotu 0,1 kg.
Kalkulátor relativní odchylky
Proč relativní odchylka nemá jednotku?
Dělíme dvě hodnoty téže veličiny. Například 0,1 kg / 8,0 kg: kilogramy se vykrátí. Výsledek 0,0125 lze zapsat jako 1,25 %, protože jedno procento je jedna setina.
Přesnost, správnost a opakovatelnost nejsou totéž
Hodnoty mohou ležet těsně u sebe, ale všechny mohou být posunuté stejným směrem. Takové měření je dobře opakovatelné, nikoli nutně správné. Příčinou může být například špatně vynulovaná váha.
Naopak větší rozptyl může způsobit náhodná složka měření. Opakováním a průměrováním ji lze částečně zmenšit, společný systematický posun však samotné opakování neodstraní.
Proč v této kapitole nemluvíme jednoduše o „skutečné chybě“?
Chyba měření je rozdíl mezi naměřenou a referenční či pravou hodnotou. Pravou hodnotu však zpravidla přesně neznáme. Proto k výsledku připojujeme nejistotu nebo školní odhad odchylky, který vyjadřuje, jak široký interval hodnot považujeme za rozumný.
Kde se s relativní odchylkou opravdu pracuje?
Historická zajímavost: odchylka, za níž se skrýval nový prvek
Na konci 19. století Lord Rayleigh zjistil, že dusík získaný ze vzduchu vychází opakovaně o trochu těžší než dusík připravený z chemických sloučenin. Rozdíl byl velmi malý, ale větší než odchylky, které mohl připsat měření. Výsledky proto nezahodil a roku 1892 požádal v časopise Nature ostatní vědce o vysvětlení.
Za nepatrným rozdílem se nakonec skrýval argon. „Dusík“ ze vzduchu totiž obsahoval malé množství tohoto těžšího, chemicky netečného plynu.
“The relative difference […] is small in itself; but it lies entirely outside the errors of experiment.”
Historická zajímavost: ztracená planetka a nepřesná data
Na Nový rok 1801 objevil Giuseppe Piazzi mezi Marsem a Jupiterem nové těleso, později nazvané Ceres. Několik týdnů zapisoval jeho polohu na obloze. Potom však Ceres zmizela v záři Slunce. Až se obloha znovu setmí, kde ji hledat? Každá Piazziho poloha byla zatížena odchylkou a pozorování bylo příliš málo na jednoduché určení dráhy.
Do problému se pustil čtyřiadvacetiletý Carl Friedrich Gauss. Z neúplných a nepřesných údajů vypočítal dráhu a předpověděl, kde se má Ceres znovu objevit. Na konci roku ji astronomové skutečně nalezli velmi blízko předpovězené polohy.
Gaussův úspěch souvisel s novými postupy pro určování dráhy z malého počtu pozorování. Později také rozpracoval metodu nejmenších čtverců, při níž hledáme model s co nejmenším součtem čtverců odchylek. Gauss ji popsal v knize Theoria motus corporum coelestium z roku 1809; jako první ji však zveřejnil Adrien-Marie Legendre už roku 1805.
Z Gaussovy práce se později stal jeden ze základů zpracování experimentálních dat. Symetrické rozdělení náhodných odchylek kolem střední hodnoty dnes často označujeme jako normální neboli Gaussovo rozdělení. Má charakteristický zvonovitý tvar, ale ne každý soubor měření se jím automaticky řídí.
Jak souvisí Gaussova křivka s měřením?
Když výsledek ovlivňuje mnoho malých, přibližně nezávislých náhodných vlivů, hodnoty se často shlukují kolem středu: malé odchylky jsou častější než velké a kladné i záporné odchylky se objevují podobně často. Histogram pak může připomínat zvon. Systematickou chybu však tento tvar sám neodhalí.
Jak výsledek správně zaokrouhlit?
Výsledek měření nemá obsahovat více číslic, než dovoluje jeho odchylka. Zaokrouhlujeme proto nejprve absolutní odchylku a teprve podle ní samotnou naměřenou hodnotu.
l = (18,347 ± 0,217) cm
Δl ≈ 0,2 cm, proto
l = (18,3 ± 0,2) cm.
t = (6,284 ± 0,138) s
Δt ≈ 0,14 s, proto
t = (6,28 ± 0,14) s.
Relativní odchylku vypočítáme z nezaokrouhlených hodnot a zaokrouhlíme ji až nakonec, zpravidla na jednu nebo dvě platné číslice. Mezivýsledky si proto ponecháváme s několika číslicemi navíc, abychom výsledek nezkreslili opakovaným zaokrouhlováním.
Co je platná číslice?
Platné číslice počítáme od první nenulové číslice. Číslo 0,0042 má dvě platné číslice (4 a 2), číslo 0,040 má dvě platné číslice (4 a koncovou 0, která vyjadřuje přesnost zápisu).
Procvičení
1. Které měření je relativně přesnější?
A: d = (2,00 ± 0,01) m
B: d = (20,0 ± 0,1) m
2. Převod na procenta
Relativní odchylka je 0,004. Kolik je to procent?
%3. Opravte výsledek
Student zapsal l = (18,347 ± 0,2) cm. Který zápis je přiměřený přesnosti odchylky?
Časté omyly
- „Nejlépe nafitovaná data musejí být nejpřesnější.“ Dobrá shoda s modelem může skrývat společnou systematickou chybu nebo nevhodný model.
- „Více desetinných míst znamená přesnější měření.“ Desetinná místa nesmějí slibovat větší přesnost, než dovoluje odchylka.
- „Absolutní odchylka je vždy v procentech.“ Má jednotku měřené veličiny; procenta používáme pro relativní odchylku.
- „Relativní odchylka má stejnou jednotku jako výsledek.“ Je bezrozměrná, protože jde o podíl stejných veličin.
- „± znamená, že každá hodnota v intervalu je stejně pravděpodobná.“ Samotný zápis neurčuje rozdělení pravděpodobnosti.
- „Opakováním odstraníme každou chybu.“ Průměrování pomáhá proti náhodnému kolísání, nikoli automaticky proti systematickému posunu.
Česko-anglický slovníček
- absolutní odchylka
- absolute deviation
- relativní odchylka
- relative deviation
- odchylka
- deviation
- nejistota měření
- measurement uncertainty
- měřená hodnota
- measured value
- výsledek měření
- measurement result
- aritmetický průměr
- arithmetic mean
- opakované měření
- repeated measurement
- náhodná chyba
- random error
- systematická chyba
- systematic error
- správnost měření
- measurement accuracy
- opakovatelnost
- repeatability
- rozlišení
- resolution
- platná číslice
- significant figure
- zaokrouhlování
- rounding
- zaokrouhlený čas
- rounded time
- cílová fotografie
- photo finish
- tolerance
- tolerance