Bernoulliho rovnice a letadlo
V létě 1901 přijeli Wilbur a Orville Wrightové do Kitty Hawk s kluzákem, který měl podle tehdy uznávaných tabulek létat dobře. Nelétal. Vytvářel mnohem menší vztlak, než čekali, a bratři začali pochybovat nejen o svém stroji, ale i o dostupných aerodynamických datech.
Místo dalšího hádání postavili v dílně malý aerodynamický tunel. Vyzkoušeli v něm desítky tvarů při různých úhlech, naměřili vlastní data a podle nich navrhli nové křídlo. O dva roky později uskutečnili první řízený motorový let. Jejich postup připomíná moderní výzkum: hypotéza, model, experiment, data a úprava konstrukce.
Krátký příběh bratří Wrightů a jejich experimentů. Otevřít video na YouTube.
Čtyři síly působící na letadlo
Na letadlo za letu působí tíhová síla, aerodynamický vztlak, tah motoru a odpor vzduchu. Při ustáleném vodorovném letu se svislé síly navzájem vyrovnávají a stejně tak síly vodorovné. Letadlo se přesto pohybuje - nulová výsledná síla znamená nulové zrychlení, nikoli nulovou rychlost.
Český proudový cvičný letoun Aero L-39 Skyfox z bočního pohledu. Zdroj obrázku: Aero Vodochody. Doplněny šipky sil.
Úhel náběhu je důležitější než „horní oblouk“
Úhel náběhu α je úhel mezi tětivou profilu křídla a směrem nabíhajícího vzduchu. Tětiva je pomyslná přímka spojující přední a zadní hranu profilu. Není to totéž co úhel letadla vůči vodorovné rovině: rozhoduje směr pohybu vůči okolnímu vzduchu.
I tenká rovná deska nebo téměř souměrný profil může při vhodném úhlu náběhu vytvářet vztlak. Zakřivený profil je praktický, protože může vytvářet vztlak už při nulovém geometrickém úhlu náběhu a dosahovat dobrého poměru vztlaku k odporu.
Vyzkoušejte sami: papírové křídlo
Držte proužek papíru těsně pod dolním rtem tak, aby volně klesal dolů, a foukněte podél jeho horní strany. Papír se zvedne. Pokus ukazuje, že proudění kolem zakřiveného papíru souvisí s rozdílem tlaků. Není však úplným modelem křídla: proud z úst je ohraničený proud a tvar papíru se během pokusu mění.
Co křídlo dělá se vzduchem?
Proud vzduchu se před křídlem rozdělí, obtéká horní a dolní povrch a za křídlem má v průměru směr skloněný dolů. Křídlo tedy mění vzduchu hybnost. Aby jej urychlilo směrem dolů, musí na něj působit výslednou silou dolů. Podle 3. Newtonova zákona působí vzduch na křídlo stejně velkou silou opačného směru. Její složka kolmá k nabíhajícímu proudu je vztlak.
To neznamená, že by vztlak vznikal pouze nárazy molekul na spodní povrch. Významná část výsledné síly běžného křídla vzniká z tlaků na horním povrchu. Tlakové pole kolem křídla a změna hybnosti vzduchu jsou dva popisy téhož vzájemného působení.
Kde se uplatní Bernoulliho rovnice?
Daleko před křídlem má vzduch rychlost v∞ a přibližně atmosférický tlak p∞. Tvar profilu a úhel náběhu však proudění změní. Nad horním povrchem se proud vzduchu na velké části křídla zrychluje, zatímco pod křídlem se zejména v blízkosti přední hrany může zpomalovat a měnit směr.
Podél proudnice můžeme za vhodných podmínek použít Bernoulliho rovnici. Ve stejné výšce přibližně platí
p + ½ρv2 = konst.V místě, kde vzduch proudí rychleji než před křídlem, je tedy jeho statický tlak menší než p∞. Kde se proudění zpomalí, je statický tlak naopak větší. Proto bývá nad značnou částí horního povrchu podtlak vůči okolnímu proudu a pod částí dolního povrchu přetlak.
Tlak působí na každý malý kousek povrchu křídla kolmo. Na horní a dolní straně má jinou velikost, takže se jednotlivé tlakové síly nevyruší. Jejich součtem vznikne výsledná aerodynamická síla; její složka kolmá k nabíhajícímu proudu je vztlak.
Bernoulliho rovnice však sama nevysvětluje, proč se vzduch nad křídlem zrychlí ani proč se proudnice zakřiví. Rozložení rychlosti a tlaku se ustaví společně podle tvaru profilu, úhlu náběhu, vazkosti vzduchu a podmínek, za nichž proudění opouští zadní hranu. Není proto přesné představovat si, že nejprve vznikne rychlost a ta teprve potom „vyrobí“ tlak.
Proč se může proudnice zakřivit?
Představme si malý objem vzduchu, který se pohybuje po zakřivené proudnici. Jeho rychlost může mít téměř stálou velikost, ale její směr se mění. Objem vzduchu má proto zrychlení směrem dovnitř zatáčky, tedy ke středu zakřivení proudnice. Podle 2. Newtonova zákona na něj musí stejným směrem působit výsledná síla.
Tuto sílu vytváří především rozdíl tlaků na protilehlých stranách malého objemu. Na vnější straně zatáčky je tlak větší, a proto odtud působí větší tlaková síla. Na vnitřní straně je tlak menší. Síly se nevyruší a jejich výslednice míří dovnitř zatáčky. Právě tlakový rozdíl napříč proudem tedy mění směr jeho pohybu.
Nad horním povrchem křídla bývá v části proudění střed zakřivení na straně blíže ke křídlu. V takové oblasti je tlak u povrchu menší a směrem od něj roste k tlaku okolního proudu. Tlakové pole zakřivuje proudnice a současně se ustavuje podle toho, jak proud obtéká profil; nejde o dva oddělené jevy. Bernoulliho rovnice popisuje změny rychlosti a tlaku podél proudnice, zatímco tento tlakový rozdíl působí napříč proudem a zakřivuje jej.
Dvě vysvětlení, jeden fyzikální děj
| Pohled přes tlak | Pohled přes hybnost |
|---|---|
| Tlak není na celém povrchu křídla stejný. Součet tlakových sil má složku vzhůru. | Křídlo stáčí proud vzduchu dolů a mění jeho hybnost. Vzduch proto působí na křídlo opačnou silou. |
| Bernoulliho rovnice propojuje rychlost a tlak podél proudnice. | Newtonovy zákony propojují výslednou sílu se změnou hybnosti. |
Někdy se používá také pojem Coandův jev: proud má za určitých podmínek tendenci sledovat zakřivený povrch. U křídla ale samotné pojmenování jevu není úplným vysvětlením. Je třeba popsat vazkost, mezní vrstvu a tlakové pole, které proud u povrchu udržuje a stáčí.
Nejznámější chybné vysvětlení
Často se tvrdí, že částice vzduchu, které se rozdělily u přední hrany, se musí u zadní hrany znovu setkat. Protože horní povrch je delší, musí prý vzduch nad křídlem letět rychleji, a podle Bernoulliho rovnice tam vznikne menší tlak.
Pro předpoklad opětovného setkání není žádný fyzikální důvod. Měření i výpočty ukazují, že vzduch nad křídlem se k zadní hraně často dostane dříve než odpovídající vzduch pod křídlem. Navíc mohou vztlak vytvářet souměrné profily, rovné desky i letadlo letící vzhůru nohama.
Na čem závisí velikost vztlaku?
Pro praktické výpočty se vztlaková síla zapisuje
FL = ½ CL ρ S v2,kde ρ je hustota vzduchu, S plocha křídla, v rychlost vůči vzduchu a CL součinitel vztlaku. Ten v sobě zahrnuje vliv tvaru profilu, úhlu náběhu a stavu proudění.
Protože je rychlost ve vztahu ve druhé mocnině, dvojnásobná rychlost by při stejném CL vytvořila čtyřnásobný vztlak. Letadlo však současně musí překonávat odpor, který má podobnou závislost na rychlosti.
Pád letadla: když se proudění odtrhne
Se zvětšujícím se úhlem náběhu součinitel vztlaku zpočátku roste. Při překročení kritického úhlu však mezní vrstva na horním povrchu nedokáže sledovat nepříznivý růst tlaku směrem k zadní hraně. Proudění se ve velké oblasti odtrhne, vzniká turbulentní úplav a součinitel vztlaku prudce klesne. Tento stav se nazývá pád neboli stall.
Stall není způsoben jednou konkrétní rychlostí. Rozhodující je překročení kritického úhlu náběhu. V běžné situaci k němu ale letadlo dospěje při malé rychlosti: aby při ní udrželo potřebný vztlak, pilot úhel náběhu zvětšuje.
Jak se mění dráha letu?
O tom, zda letadlo vůči zemi stoupá, klesá nebo zatáčí, nerozhoduje jediná síla. Záleží na výslednici všech sil, na směru rychlosti vůči vzduchu a také na pohybu samotné vzduchové hmoty.
- Stoupání v klidném vzduchu: letadlo při ustáleném stoupání získává polohovou energii. Pohonná soustava proto musí poskytovat větší výkon, než kolik se spotřebuje na překonávání odporu; mluvíme o přebytku výkonu. Samotný velký tah stoupání nezaručuje — záleží také na rychlosti, odporu, sklonu dráhy a nastavení křídla.
- Klesání a klouzání: bezmotorový kluzák se vůči klidnému okolnímu vzduchu obvykle pohybuje po mírně klesající dráze. Část jeho polohové energie se mění na energii potřebnou k překonání odporu. V klidném vzduchu tedy kluzák ztrácí výšku. Ve vzestupném proudu však může stoupat i vůči zemi: stačí, aby vzduch stoupal rychleji, než je vlastní klesavost kluzáku. Tak piloti využívají například termické stoupavé proudy.
- Zatáčení: pilot letadlo nakloní, a tím nakloní i vztlakovou sílu. Její vodorovná složka mění směr rychlosti a stáčí letadlo. Má-li při zatáčení zůstat výška stálá, musí svislá složka vztlaku vyrovnat tíhu. Celkový vztlak proto musí být větší než při přímém vodorovném letu; pilot jej obvykle zvýší změnou úhlu náběhu a podle potřeby i výkonu.
- Vítr: protivítr nebo zadní vítr mění především rychlost letadla vůči zemi, nikoli automaticky rychlost vůči okolnímu vzduchu. Svislé proudy vzduchu zase mohou zvýšit nebo snížit rychlost stoupání vůči zemi.
Souvislost s biologií: ptačí křídlo
Ptáci aktivně mění prohnutí, plochu i úhel náběhu křídla a pohybem křídel vytvářejí současně vztlak i tah. Roztažená pera na koncích křídel mohou omezovat účinky koncových vírů podobně jako některé koncové úpravy letadel.
Otázky a úlohy
1. Proč může letět letadlo se souměrným profilem křídla?
Souměrný profil při vhodném úhlu náběhu změní tlakové pole a stáčí proud vzduchu dolů. Nesouměrný „horní oblouk“ není podmínkou vzniku vztlaku.
2. Při stejné hustotě, ploše a součiniteli vztlaku vzroste rychlost z 30 na 60 m·s⁻¹. Jak se změní vztlak?
Rychlost se zdvojnásobila. Protože FL ∝ v2, vztlak by vzrostl čtyřikrát.
3. Proč je při vzletu ve vysoké nadmořské výšce potřeba delší dráha?
Řidší vzduch znamená při stejné rychlosti menší vztlak i menší tah některých motorů. Letadlo musí vůči vzduchu dosáhnout větší rychlosti, a proto potřebuje delší rozjezd. Vysoká teplota hustotu dále snižuje.
4. Jak může bezmotorový kluzák vytvářet vztlak?
Vztlak nevyžaduje motor, ale pohyb vůči vzduchu. Kluzák při letu mírně klesá; část jeho tíhové síly udržuje pohyb vpřed proti odporu.
5. Co je na vysvětlení „delší dráhy nad křídlem“ chybně?
Částice rozdělené před křídlem se nemusí u zadní hrany současně setkat. Větší rychlost nad křídlem může být reálná, ale nevzniká kvůli této domnělé podmínce.
6. Letadlo letí vodorovně stálou rychlostí. Jaké jsou výslednice sil?
Výsledná síla je nulová. V jednoduchém popisu vztlak vyrovnává tíhu a tah vyrovnává odpor.
Časté omyly
- „Vzduch nad a pod křídlem se musí u zadní hrany setkat.“ Nemusí; jde o ničím nepodložený předpoklad.
- „Bernoulliho rovnice a 3. Newtonův zákon jsou dvě soupeřící teorie vztlaku.“ Popisují různé stránky téhož proudění.
- „Vztlak vzniká jen nárazem vzduchu zespodu.“ Významná část síly běžného křídla pochází z nižšího tlaku nad horním povrchem.
- „K letu je nutný profil vypouklý nahoře a rovný dole.“ Vztlak mohou vytvářet také souměrné profily nebo tenké desky při vhodném úhlu náběhu.
- „Stall nastane při jedné pevně dané rychlosti.“ Bezprostřední příčinou je překročení kritického úhlu náběhu; rychlost pádu závisí na hmotnosti, konfiguraci a manévru.
- „Motor vytváří vztlak.“ Motor obvykle vytváří tah. Křídlo díky pohybu vůči vzduchu vytváří převážnou část vztlaku.
- „Když jsou síly vyrovnané, letadlo musí stát.“ Vyrovnané síly znamenají nulové zrychlení; letadlo může letět stálou rychlostí.
Česko-anglický slovníček
- aerodynamický vztlak
- lift
- odpor vzduchu
- drag
- tah
- thrust
- profil křídla
- airfoil
- úhel náběhu
- angle of attack
- tětiva profilu
- chord line
- nabíhající proud
- relative airflow
- součinitel vztlaku
- lift coefficient
- mezní vrstva
- boundary layer
- odtržení proudění
- flow separation
- pád letadla
- stall
- kritický úhel náběhu
- critical angle of attack
- proud vzduchu za křídlem
- downwash
- koncový vír
- wingtip vortex