Coulombův zákon

Roku 1785 se Charles-Augustin de Coulomb pokoušel změřit něco, co nebylo možné položit na misku vah: nepatrnou sílu působící mezi dvěma nabitými kuličkami.

Neměl elektronický siloměr ani digitální snímač. Měl však velmi tenké vlákno — a nápad využít jeho zkroucení jako stopu neviditelné síly.

Když přiblížil stejně nabité kuličky, začaly se odpuzovat. Jedna z nich pootočila zavěšenou tyčinku a zkroutila vlákno. Coulomb mohl z velikosti pootočení určit, jak silně na sebe kuličky působí. Potom změnil jejich vzdálenost a pokus opakoval. Z těchto měření postupně vystoupilo jednoduché pravidlo, které dnes nazýváme Coulombův zákon.

Výsledek ukázal, že elektrická síla může být překvapivě velká. Kdyby dvě kuličky vzdálené jeden metr nesly náboje +1 C a −1 C, přitahovaly by se silou přibližně devíti miliard newtonů. To odpovídá přibližně tíze tělesa o hmotnosti milion tun. Tak velký náboj však malá kulička v běžných podmínkách neudrží — při skutečných pokusech proto pracujeme s náboji mnohonásobně menšími.

Rekonstrukce Coulombových torzních vah v Deutsches Museum. Kliknutím otevřete celý obrázek. Foto: Bautsch, CC0.

Než budete pokračovat: Jak se podle vás změní elektrická síla, jestliže Coulomb zvětší vzdálenost mezi kuličkami na dvojnásobek? Podobnou otázku jste už řešili u Newtonova gravitačního zákona. Elektrická a gravitační síla jsou sice principiálně odlišné, jejich závislost na vzdálenosti má však stejný matematický tvar.

Od pozorování k zákonu

Abychom objevili závislost, měníme vždy jen jednu veličinu. Uvažujeme dvě malá nabitá tělesa, jejichž rozměry jsou ve srovnání se vzdáleností zanedbatelné. Taková tělesa modelujeme jako bodové náboje.

Měníme vzdálenost

Se stejnými náboji zjistíme, že při dvojnásobné vzdálenosti je síla čtyřikrát menší:

F ∼ 1r²

Měníme první náboj

Zdvojnásobení jednoho náboje při stejné vzdálenosti zdvojnásobí sílu:

F ∼ |q₁|

Měníme druhý náboj

Stejná přímá úměrnost platí i pro druhý náboj:

F ∼ |q₂|

Coulombův zákon:F_e = k · |q₁q₂|r²Velikost elektrické síly mezi dvěma bodovými náboji je přímo úměrná součinu velikostí nábojů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

Ve vakuu je k ≈ 8,99 × 10⁹ N·m²·C⁻². Ekvivalentně zapisujeme k = 14πε₀, kde ε₀ je permitivita vakua.

Co znamená absolutní hodnota ve vzorci?

Vzorec zde počítá velikost síly, která je vždy nezáporná. Znaménka nábojů určují směr: souhlasné náboje se odpuzují a nesouhlasné se přitahují.

Směr elektrické síly

Souhlasná znaménka

Náboje +/+ i −/− se odpuzují. Síly míří od druhého náboje.

Opačná znaménka

Náboje +/− se přitahují. Síly míří k druhému náboji.

Síly působí podél spojnice nábojů. Mají stejnou velikost a opačný směr, protože tvoří dvojici akce a reakce:

F₁₂ = −F₂₁

Otázka: Je síla větší na těleso s menším nábojem, nebo na těleso s větším nábojem?

Odpověď

Ani jedna. Obě síly jsou stejně velké a opačně orientované. Tělesa však mohou získat různá zrychlení, mají-li různou hmotnost.

V jakém prostředí náboje jsou?

V látkovém prostředí elektrickou sílu oslabuje polarizace prostředí. Pro homogenní izolant platí:

F_e = 14πε₀ε_r · |q₁q₂|r²

ε_r je relativní permitivita. Ve vakuu je 1, ve vzduchu přibližně 1. Čím je relativní permitivita větší, tím je síla mezi stejnými volnými náboji menší.

Prostředí	Přibližná ε_r	Síla proti vakuu
vzduch	1,0006	prakticky stejná
petrolej	asi 2	přibližně poloviční
sklo	asi 5–10	5–10× menší
voda při nízkých frekvencích	asi 80	přibližně 80× menší

Poznámka k tabulce

Relativní permitivita závisí na teplotě, frekvenci a přesném složení látky. U vody navíc ionty v roztoku elektrické působení stíní; prosté dělení hodnotou ε_r proto nevystihuje všechny procesy probíhající ve vodných roztocích.

Řešený příklad: dvě nabité kuličky

Zadání

Dvě malé kuličky nesou náboje +2,0 μC a +2,0 μC. Jejich středy jsou vzdáleny 10 cm. Určete velikost a směr elektrické síly ve vzduchu.

Nejprve se pokuste příklad vyřešit samostatně. Zapište vztah, převeďte jednotky, dosaďte a rozhodněte, zda se kuličky přitahují, nebo odpuzují.

Nápověda

Použijte Coulombův zákon pro látkové prostředí.
Převeďte mikrocoulomby na coulomby a centimetry na metry.
Protože jde o vzduch, můžete použít ε_r ≈ 1.
Směr síly určete ze znamének obou nábojů.

F_e = 14πε₀ε_r · |q₁q₂|r²

Kontrola výpočtu

Doplňte hodnoty, se kterými jste počítali, svůj výsledek a směr síly. Žádné pole není předvyplněné.

Náboj q₁ [μC]Náboj q₂ [μC]Vzdálenost r [cm]Relativní permitivita ε_rVypočtená síla F [N]Směr působení

Nápověda k zadávání hodnot

Hodnoty zapisujte v jednotkách uvedených v hranatých závorkách. Mikro je již zahrnuto v jednotce μC, proto například náboj 2,0 μC zapisujte jako 2, nikoli jako 2 × 10⁻⁶. Vzdálenost zadejte v centimetrech a vypočtenou sílu v newtonech. Desetinná čárka i tečka fungují.

Zobrazit celý postup a řešení

Nejprve převedeme jednotky:

2,0 μC = 2,0 × 10⁻⁶ C, 10 cm = 0,10 m.

Pro vzduch použijeme ε_r ≈ 1 a dosadíme:

F = 8,99 × 10⁹ · (2,0 × 10⁻⁶)²0,10² ≈ 3,6 N

Oba náboje jsou kladné, proto se kuličky odpuzují.

Příklady bez kalkulačky

1. Změna vzdálenosti

Vzdálenost dvou nábojů zvětšíme třikrát. Kolikrát se změní síla?

2. Změna obou nábojů

Oba náboje zdvojnásobíme a vzdálenost nezměníme. Kolikrát se změní síla?

3. Změna nábojů i vzdálenosti

Oba náboje zdvojnásobíme a současně zdvojnásobíme jejich vzdálenost. Co se stane se silou?

Coulombův zákon a gravitační zákon

Coulombův vztah může působit povědomě. V předchozích ročnících jste se setkali s jinou silou působící na dálku — s gravitací. Newtonův gravitační zákon má téměř stejnou matematickou stavbu. Srovnání obou vztahů nám ukáže nejen jejich podobnost, ale také jeden zásadní rozdíl.

	Elektrická síla	Gravitační síla
Vztah	F_e = k\|q₁q₂\|r²	F_g = Gm₁m₂r²
Zdroj působení	elektrický náboj	hmotnost
Směr	přitažlivá i odpudivá	vždy přitažlivá
Vliv prostředí	ano	v běžné fyzice ne

V obou zákonech síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti. Podobný matematický tvar ale neznamená, že jde o tutéž sílu.

Proč se ve fyzice tak často objevuje 1r²?
Účinek bodového zdroje se v prostoru rozprostírá do všech směrů. Ve vzdálenosti r je rozdělen přes povrch pomyslné koule o obsahu 4πr². Zdvojnásobíme-li poloměr, plocha koule je čtyřikrát větší, a na stejnou plochu proto připadá čtyřikrát menší účinek. Se zákonem převrácených čtverců se proto setkáme například u gravitačního a elektrického působení nebo u intenzity světla z bodového zdroje.

Mezi protonem a elektronem je elektrická síla přibližně 2,3 × 10³⁹krát větší než jejich vzájemná gravitační síla. Poměr nezávisí na vzdálenosti, protože obě síly klesají jako 1r².

Proč tedy u velkých těles pozorujeme hlavně gravitaci?

Makroskopická tělesa obsahují téměř přesně stejné množství kladného a záporného náboje, takže se jejich elektrické působení ve velké míře ruší. Hmotnost má naproti tomu jen jedno „znaménko“ a její gravitační účinky se vždy sčítají.

Kde se Coulombův zákon projevuje?

Stabilita atomů

Elektrická přitažlivost váže záporné elektrony ke kladnému jádru. Úplný popis atomu je kvantový, ale velikost coulombovského působení zůstává zásadní.

Molekuly a DNA

Elektrické síly mezi ionty a částečnými náboji ovlivňují vazby, tvar molekul i interakce záporně nabité kostry DNA s ionty a bílkovinami.

Plazma a Slunce

Sluneční plazma obsahuje volné elektrony a ionty. Jejich kolektivní pohyb vytváří elektrická a magnetická pole a podílí se na dynamice slunečních erupcí.

Důležité zpřesnění k biologii a Slunci

V roztoku jsou náboje stíněny okolními ionty, proto nelze biologickou molekulu jednoduše modelovat jako několik izolovaných bodových nábojů. U slunečních erupcí navíc dominuje kolektivní elektromagnetické chování plazmatu; samotný Coulombův zákon pro dvojici částic je jen základní mikroskopická část obrazu.

Coulomb nebyl jen fyzik

Když se řekne Coulomb, vybaví se dnes především elektrický náboj. Většinu profesního života však Charles-Augustin de Coulomb strávil jako vojenský inženýr. Zabýval se pevnostmi, tlakem zeminy, stabilitou staveb, třením i pevností materiálů. Právě zkušenost s praktickými mechanickými problémy jej naučila převádět nepatrné a obtížně pozorovatelné účinky na veličiny, které lze přesně změřit.

1761: dokončil vojenskou inženýrskou školu v Mézières a nastoupil do ženijního sboru jako poručík.

1764–1772: na tropickém Martiniku řídil stavbu nové pevnosti Bourbon. Osmiletý pobyt a prodělané nemoci poznamenaly jeho zdraví na celý život.

1777: při výzkumu magnetického kompasu ukázal, že zkroucené tenké vlákno lze použít k měření mimořádně malých sil.

1785: stejný princip využil při měření elektrické síly a formuloval zákon, který dnes nese jeho jméno.

1791: z armády odešel v hodnosti podplukovníka. Jeho jméno bylo později vytesáno mezi 72 jmen vědců a inženýrů na Eiffelově věži.

Cesta k Coulombovu zákonu tedy nevedla přímo z učebnice elektřiny. Vedla přes pevnosti v Karibiku, tření lan a zkoumání zkroucených vláken.

Jak Coulomb změřil nepatrnou sílu?

Torzní kyvadlo je lehká vodorovná tyčka zavěšená uprostřed na velmi tenkém svislém vlákně. Na rozdíl od běžného kyvadla se nekývá ze strany na stranu: otáčí se kolem svislé osy a přitom vlákno zkrucuje. Čím větší moment síly na tyčku působí, tím více se vlákno zkroutí.

Coulomb tento princip využil v přístroji zvaném torzní váhy. Na jednom konci lehké tyčky byla nabitá kulička. Když k ní přiblížil druhou nabitou kuličku, elektrická síla tyčku pootočila a zkroutila závěsné vlákno. Otáčení se zastavilo ve chvíli, kdy se moment elektrické síly vyrovnal momentu zkrouceného vlákna. Z naměřeného úhlu tak mohl určit i velmi malou elektrickou sílu.

Proč torzní vlákno?

Moment síly vlákna je v určitém rozsahu úměrný úhlu zkroucení. Úhel lze měřit mnohem citlivěji než nepatrnou přímočarou sílu běžnými vahami.

Co měnil?

Vzdálenost kuliček a velikost jejich nábojů. Tím ověřil, že síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti a roste se součinem nábojů.

Otevřít Coulombův původní francouzský článek z roku 1785

Časté omyly

„Dvakrát dál znamená poloviční sílu.“

Ne. Kvůli druhé mocnině je při dvojnásobné vzdálenosti síla čtvrtinová.

„Větší náboj působí větší silou.“

Na oba náboje působí stejně velké opačné síly. Lišit se může jejich zrychlení.

„Záporná síla je menší síla.“

Záporné znaménko ve vektorovém zápisu udává směr, nikoli zápornou velikost síly.

„Vzdálenost měříme mezi povrchy.“

U bodových nábojů je to jejich vzájemná vzdálenost; u malých kulových těles obvykle vzdálenost středů.

Česko-anglický slovníček

Coulombův zákon: Coulomb's law
elektrická síla: electric force
bodový náboj: point charge
přitažlivá síla: attractive force
odpudivá síla: repulsive force
permitivita: permittivity
relativní permitivita: relative permittivity
torzní váhy: torsion balance
zákon převrácených čtverců: inverse-square law
spojnice nábojů: line joining the charges