Fyzikální odhady
Krátce před půl šestou ráno 16. července 1945 stál Enrico Fermi v poušti v Novém Mexiku a čekal na první zkoušku atomové bomby. Když oblohu ozářil oslepující záblesk, držel v ruce několik malých útržků papíru. Asi o čtyřicet sekund později k němu dorazila tlaková vlna. Fermi papírky pustil a sledoval, jak daleko je proud vzduchu odnesl. Z jediného jednoduchého pozorování během několika okamžiků odhadl sílu výbuchu přibližně na 10 kilotun TNT – a správně tak určil její řád. Jak to dokázal bez složitých přístrojů a bez všech potřebných údajů? Jeho vlastní bezprostřední vzpomínky na tento mrazivý okamžik si můžete přečíst v odtajněné zprávě zobrazené níže.
Kolik litrů vzduchu je v učebně?
Než začnete měřit nebo hledat rozměry místnosti, zkuste výsledek odhadnout. Nejde o náhodný tip. Využijte to, co o běžné učebně víte: její délka bývá několik metrů, šířka je podobného řádu a strop je přibližně tři metry nad podlahou.
Nejprve odhad, potom výpočet
Jak se dá odhadnout hmotnost vzduchu?
Potřebujeme znát objem místnosti a přibližnou hustotu vzduchu. Za běžných podmínek můžeme použít ρ ≈ 1,2 kg/m³. Pro učebnu o rozměrech např. 8 m × 6 m × 3 m vyjde objem 144 m³ a hmotnost vzduchu asi 170 kg. Vzduch v učebně tedy může vážit přibližně jako dva dospělí lidé.
Poznámka pro učitele
Nechte studenty nejprve napsat individuální odhad a teprve potom návrhy shromážděte. Není nutné začínat skutečným měřením místnosti. Rozměry lze odhadnout z výšky dveří, délky lavice nebo počtu kroků. Po výpočtu se ptejte, který předpoklad ovlivnil výsledek nejvíce.
Odhad není tipování
Tip může vzniknout bez zdůvodnění. Fyzikální odhad je naproti tomu založen na známých informacích, jednoduchém modelu a rozumně zvolených přibližných hodnotách. Jeho cílem obvykle není mnoho platných číslic, ale správná velikost výsledku.
Při odhadu nemá smysl předstírat větší přesnost, než dovoluje použitý model a vstupní údaje. Nejprve potřebujeme jednoduchý a srozumitelný popis, který zachytí podstatný princip a umožní určit alespoň řád výsledku. Teprve když na přesnější hodnotě skutečně záleží, má význam zpřesňovat model, vstupní údaje i výpočet. Jinak můžeme velmi přesně počítat s nepřesnými odhady a získat jen zdánlivě důvěryhodné číslo. Tuto myšlenku podrobněji rozvíjí článek Přesnost ano, ale až v pravý okamžik aneb kterak účelně zhřešiti ve fyzice (Obdržálek, 2025).
O co se při odhadu opřít?
Odhad je snazší, máme-li v paměti několik referenčních hodnot. Nemusíme znát přesný rozměr každého předmětu. Často stačí představit si něco známého a porovnat s tím hledanou veličinu.
| Referenční hodnota | Užitečná představa | K čemu se hodí |
|---|---|---|
| 1 m | přibližně velký krok nebo šířka dveří | rozměry místnosti, vzdálenosti |
| 1 l | dvě půllitrové lahve nápoje | objemy nádob a místností |
| 1 kg | běžný kilogramový sáček cukru nebo mouky | hmotnost zavazadla, kapaliny či potravin |
| 1 t | přibližná hmotnost menšího osobního auta | hmotnost vozidel, nákladů a staveb |
| 1 J | energie potřebná ke zvednutí 100 g přibližně o 1 m | porovnávání energie a práce |
Zajímavost: kolik energie ukrývá kostka cukru?
Jedna kostka cukru o hmotnosti přibližně 4 g obsahuje asi 70 kJ chemické energie. To je přibližně stokrát více než kinetická energie střely z běžné pistole, která bývá řádově 500 J. Srovnáváme však různé formy energie: pistole předá velkou energii velmi rychle malé střele, zatímco tělo získává energii z cukru postupně a jen část z ní dokáže přeměnit na mechanickou práci.
Člověk o hmotnosti 70 kg zvýší při vystoupání o 10 m svou polohovou energii asi o 7 kJ. Kdyby tělo převádělo energii dokonale, jedna kostka cukru by tedy stačila přibližně na výstup o 100 m. Ve skutečnosti svaly využijí k mechanické práci jen část přijaté energie, takže odpovídající převýšení je spíše několik desítek metrů.
Pro srovnání: člověk spotřebuje jen na základní chod organismu přibližně 6–8 MJ za den. Průměrný výkon organismu v klidu je tedy řádově 100 W, neboli asi 100 J každou sekundu. Hodnoty se liší podle tělesné hmotnosti, věku, pohlaví a dalších podmínek; cílem srovnání je ukázat řád, nikoli přesně určit energetickou bilanci konkrétního člověka.
Rychlé odhady bez kalkulačky
Historická zajímavost: Jak změřit Zemi, aniž bychom ji obešli?
Přibližně ve 3. století př. n. l. se řecký učenec Eratosthenés pokusil určit velikost celé Země. Neměl družice, přesné mapy ani možnost Zemi objet. Věděl však, že v egyptské Syéně, dnešním Asuánu, je v poledne o letním slunovratu Slunce téměř přímo nad hlavou, zatímco ve stejnou dobu v Alexandrii vrhá svislá tyč stín.
Z délky stínu určil úhel přibližně 7,2°, tedy jednu padesátinu plného úhlu. Jestliže vzdálenost mezi oběma městy odpovídá jedné padesátině obvodu Země, stačí ji vynásobit padesáti:
Nejobtížnější bylo určit vzdálenost mezi městy. Eratosthenés ji znal jen přibližně, pravděpodobně z údajů profesionálních zeměměřičů. Přesto dospěl k výsledku překvapivě blízkému skutečnému obvodu Země.
Jeho výpočet nebyl přesný v dnešním smyslu. Syéné neleží přesně na obratníku ani přímo na jih od Alexandrie a nejistá byla také délka tehdejší jednotky – stadia. Použitý model byl ale natolik dobrý, že poskytl správný řád velikosti a velmi rozumný výsledek.
Eratosthenés nepotřeboval změřit celou Zemi. Potřeboval změřit stín, odhadnout jednu vzdálenost a pochopit, jak spolu tyto údaje souvisejí.
Řádový odhad
Při řádovém odhadu nás zajímá především mocnina deseti, do níž výsledek patří. Počet litrů vzduchu v učebně například nebude 10² l ani 10⁹ l, ale přibližně 10⁵ l. Zápis 148 327,6 l by působil přesně, ale při pouze odhadnutých rozměrech by taková přesnost nebyla oprávněná.
Jaký je řád výsledku?
Řešení
Jeden metr krychlový je 1 000 l. Pokud jablku přiřadíme objem asi 0,25 l, vyjde 1 000/0,25 ≈ 4 000 jablek. Výsledek je tedy řádově 10³. Ve skutečné bedně by jich bylo méně, protože mezi jablky zůstávají mezery. Odhad nám zároveň ukázal, který předpoklad by bylo vhodné zpřesnit.
Fermiho metoda: rozdělte problém
Některé otázky vypadají neřešitelně jen proto, že na ně neznáme přímou odpověď. Fermiho metoda je rozdělí na menší otázky, jejichž odpovědi už dokážeme přibližně určit. Jednotlivé odhady potom spojíme jednoduchým výpočtem.
- Přesně formulujte otázku.
Co počítáme, pro jaké místo, období nebo skupinu? - Navrhněte jednoduchý model.
Rozložte neznámou veličinu na několik známějších faktorů. - Odhadněte vstupní hodnoty.
Použijte zkušenost, referenční hodnoty a rozumné horní a dolní meze. - Počítejte jednoduše.
Zaokrouhlujte tak, aby byl výpočet přehledný a přesnost odpovídala vstupům. - Zkontrolujte výsledek.
Ověřte jednotku, řád a porovnejte výsledek s něčím známým.
Kolik kroků uděláte za den?
Bez krokoměru lze otázku rozdělit například na běžné přesuny během dne. Odhadněte jejich počet a délku.
Poznámka pro učitele
Výsledek není hlavním cílem. Porovnávejte modely: někdo rozdělí den podle cest, jiný podle času stráveného chůzí. Ptejte se, který předpoklad má největší vliv a jak by se dal ověřit. Dobrá Fermiho úloha připouští více obhajitelných postupů.
Klasická Fermiho otázka
Kolik ladičů pian působí v Chicagu? Přímý údaj neznáme, přesto lze počet odhadnout. Potřebujeme například počet obyvatel města, průměrný počet lidí v domácnosti, podíl domácností s pianem, četnost ladění a počet pian, která zvládne jeden ladič za rok.
Ukázkový rozklad
Zvolme hrubé hodnoty: 3 miliony obyvatel, 3 lidé v domácnosti, piano v každé dvacáté domácnosti a jedno ladění ročně. To je asi 50 000 ladění za rok. Pokud ladič zvládne 4 piana denně po 250 pracovních dní, připadá na něj přibližně 1 000 pian za rok. Odhad tedy dává asi 50 ladičů.
Jiné rozumné předpoklady mohou dát 30 nebo 100 ladičů. To není selhání metody. Důležité je, že očekáváme desítky, nikoli dva ladiče nebo deset tisíc.
Odhad jako kontrola výsledku
Odhad nemusí předcházet jen měření. Je také rychlou kontrolou výpočtu, kalkulačky nebo údajů nalezených na internetu. Jestliže nám přesný výpočet vyjde o několik řádů jinak než rozumný odhad, měli bychom nejprve hledat chybu v jednotkách, desetinné čárce, zadaných hodnotách nebo modelu.
Odhad nemusí být přesný. Měl by však být založený na známých informacích, fyzikálně smysluplný a natolik průhledný, aby jej mohl někdo další zkontrolovat. Čím více odhadů zkusíme, tím lépe si vytváříme cit pro velikosti fyzikálních veličin – a tím snáze poznáme výsledek, který sice vypadá přesvědčivě, ale nemůže být správný.
Česko-anglický slovníček
- fyzikální odhad
- physical estimate
- Fermiho úloha
- Fermi problem
- řádový odhad
- order-of-magnitude estimate
- řád veličiny
- order of magnitude
- přibližná hodnota
- approximate value
- referenční hodnota
- reference value
- předpoklad
- assumption
- model
- model
- zaokrouhlení
- rounding
- horní mez
- upper bound
- dolní mez
- lower bound
- kontrola výsledku
- sanity check