Grafy, funkce a fitování

Osm úhlových minut, které změnily obraz vesmíru

Na konci 16. století sledoval Tycho Brahe pohyb planet s přesností, jaké před vynálezem dalekohledu dosáhl málokdo. Rok za rokem zapisoval polohy Marsu. Po jeho smrti dostal tato mimořádně přesná data do rukou Johannes Kepler a pokoušel se najít křivku, která by je popsala.

Nejprve se snažil zachránit starou představu, že se planety musejí pohybovat po kružnicích. Jeho model však s pozorováním Marsu nesouhlasil přibližně o osm úhlových minut. Tak malou odchylku mohl prohlásit za chybu měření. Kepler ale Braheho datům důvěřoval. Právě nesouhlas mezi body a modelem ho nakonec přivedl k elipse a k prvnímu Keplerovu zákonu.

Nunc quia contemni non potuerunt, sola igitur haec octo minuta viam praeiverunt ad totam Astronomiam reformandam, suntque materia magnae parti huius operis facta.

„Protože těchto osm minut nebylo možné přehlédnout, právě ony otevřely cestu k reformě celé astronomie a staly se námětem velké části tohoto díla.“

Johannes Kepler, Astronomia nova (1609), kap. 19, s. 113–114.
Keplerův původní nákres zdánlivého geocentrického pohybu Marsu
Keplerův nákres zdánlivého geocentrického pohybu Marsu během několika období retrográdního pohybu, Astronomia nova, kap. 1 (1609). Obrázek je ze stejné knihy jako citát, nikoli však přímo z pasáže o osmi minutách. Zdroj a větší rozlišení.
Když data neodpovídají naší oblíbené představě, nemáme upravovat data. Máme znovu promyslet model.
Otázka: Co by se stalo, kdyby Brahe měřil méně přesně nebo kdyby Kepler osm úhlových minut jednoduše přehlédl?
Jak malý je úhel osm úhlových minut?

Jeden stupeň má 60 úhlových minut, takže 8′ odpovídá přibližně 0,13°. Na délku natažené paže zabírá takový úhel objekt široký asi 2 mm. Právě odchylka tohoto řádu pomohla rozhodnout mezi kružnicí a elipsou.

Funkce jako model fyzikálního vztahu

Funkce přiřazuje každé přípustné hodnotě nezávislé veličiny jednu hodnotu závislé veličiny. Ve fyzice rovnice navíc vyjadřuje představu o tom, proč spolu veličiny souvisejí. Tvar grafu proto nevybíráme pouze podle toho, která křivka „vypadá hezky“.

Lineární funkcey = ax + bNapříklad dráha rovnoměrného pohybu v závislosti na čase.
Přímá úměrnosty = axZvláštní lineární vztah, jehož graf prochází počátkem.
Nepřímá úměrnosty = a/xNapříklad elektrický odpor vodiče je při stejné délce a rezistivitě nepřímo úměrný obsahu jeho průřezu.
Kvadratická funkcey = ax2 + bx + cNapříklad dráha rovnoměrně zrychleného pohybu.
Exponenciální funkcey = AekxNapříklad radioaktivní rozpad nebo přibližování teploty tělesa k teplotě okolí.
Mocninná funkcey = axnNapříklad perioda matematického kyvadla je úměrná odmocnině jeho délky: T ∝ √l.
Je každá přímka přímou úměrností?

Ne. Graf přímé úměrnosti musí procházet počátkem souřadnic. Rovnice y = ax + b s nenulovým b je lineární funkce, ale nikoli přímá úměrnost.

Co je fitování?

Fitování neboli prokládání dat znamená hledání parametrů zvolené matematické funkce tak, aby funkce co nejlépe popisovala naměřené body. U přímky hledáme například směrnici a a průsečík s osou y, tedy parametry rovnice y = ax + b.

Fit obvykle neprochází všemi body. Měření obsahuje náhodné odchylky a úkolem modelu není kopírovat každé zakolísání, ale zachytit společný trend.

Co naznačují naměřené body?

V grafu jsou výsledky měření uražené dráhy v různých časech. Body záměrně nejsou spojeny. Každý bod představuje samostatné měření a skutečný průběh mezi měřeními neznáme.

Který popis dat se zdá nejvhodnější?

Body ukazují měření. Funkce vyjadřuje model vztahu mezi veličinami.
Součet čtverců reziduí: –Nejlepší nalezený fit: –
Jak software vybírá „nejlepší“ přímku?

Často používá metodu nejmenších čtverců. Pro každý bod určí svislou odchylku od modelu, tedy reziduum. Rezidua umocní na druhou a sečte. Za nejlepší považuje takové parametry, pro které je tento součet nejmenší. Umocnění zabrání tomu, aby se kladné a záporné odchylky navzájem vyrušily.

Rezidua: co zůstane po odečtení modelu

Reziduum jednoho bodu je rozdíl mezi naměřenou hodnotou yi a hodnotou předpovězenou modelem ŷi:

ei = yi − ŷi

Rezidua by měla být rozptýlena kolem nuly bez zřetelného vzoru. Pokud vytvářejí oblouk, vlnu nebo se s rostoucí hodnotou zvětšují, zvolený model pravděpodobně část závislosti nevystihuje.

Data a lineární fit

Rezidua

Odlehlý bod neodstraňujeme jen proto, že se nám nehodí. Nejdříve hledáme příčinu: chybu zápisu, poruchu měřidla, změnu podmínek nebo skutečný fyzikální jev.

Stejná data, fyzikálnější model: chladnutí

V minulé kapitole jsme sledovali chladnutí tělesa. Body tvoří zakřivený průběh: teplota nejprve klesá rychle a později se stále pomaleji přibližuje k teplotě okolí. Přímka proto nemůže být vhodným modelem pro celý děj.

Porovnejte modely

Newtonův zákon ochlazování vede k modelu

T(t) = Tokolí + (T0 − Tokolí)e−kt.

Parametr k určuje rychlost přibližování k teplotě okolí. Fitováním tedy nezískáme jen pěknou křivku; můžeme určit fyzikálně smysluplný parametr a pomocí modelu interpolovat mezi měřeními.

Proč je extrapolace nebezpečnější než interpolace?

Uvnitř proměřeného rozsahu víme, že model prochází oblastí, kde máme data. Za posledním bodem pouze předpokládáme, že se podmínky ani fyzikální mechanismus nezmění. Lineární fit chladnutí by při dlouhé extrapolaci dokonce předpověděl teplotu hluboko pod teplotou okolí.

Jak poznat, zda je fit dobrý?

Fyzikální smyslOdpovídá tvar funkce mechanismu děje? Mají parametry správné jednotky a realistické hodnoty?
Graf a reziduaLeží body kolem křivky bez nápadného systematického vzoru?
Rozsah platnostiPlatí model jen v proměřeném intervalu, nebo máme důvod věřit mu i mimo něj?
Nejistoty měřeníJsou odchylky bodů od modelu srovnatelné s očekávanou nejistotou?
JednoduchostNepřidáváme zbytečné parametry pouze proto, aby křivka prošla každým bodem?
Koeficient determinaceHodnota R2 blízká jedné může pomoci, sama však nezaručuje správný fyzikální model.
Proč nestačí vysoké R2?

I nesprávně zvolená funkce může v krátkém intervalu dosáhnout velmi vysokého R2. Hodnota také neodhalí příčinnou souvislost, špatně provedený experiment ani chybu společnou všem měřením. Vždy ji proto posuzujeme spolu s grafem, rezidui a fyzikální úvahou.

Korelace není příčina

Korelace vyjadřuje, že se dvě veličiny mění společně. Sama však neříká, proč se to děje. V horkých dnech se může současně zvýšit prodej zmrzliny i počet lidí, kteří se koupou. Kdyby přibylo nehod ve vodě, neznamenalo by to, že je způsobuje zmrzlina. Společnou příčinou může být teplé počasí.

Co lze z dat oprávněně říci?

Konkrétní využití v praxi a dalších oborech

TechnikaLineárním fitem kalibrační přímky senzoru určíme, jak převést elektrické napětí na teplotu nebo tlak.
Biologie a lékařstvíExponenciální model popisuje pokles koncentrace některých léčiv; parametry pomáhají odhadnout biologický poločas.
ChemieZ počáteční části kalibrační závislosti absorbance na koncentraci lze pomocí Beerova–Lambertova zákona určit neznámou koncentraci vzorku.
SportZávislost dráhy na čase umožní určit rychlost; zakřivení grafu může odhalit zrychlování nebo únavu sportovce.
Geografie a klimaRegresní trend v dlouhé časové řadě pomáhá popsat změnu, ale musí se odlišit od sezónních výkyvů a krátkodobého počasí.
AstronomieModely světelných křivek umožňují odhadovat vlastnosti proměnných hvězd nebo planet přecházejících před hvězdou.

Časté omyly

  • „Body se musejí spojit.“ Nemusejí. Lomená čára vytváří neodůvodněný průběh mezi měřeními.
  • „Nejlepší je křivka, která projde všemi body.“ Takový model často pouze kopíruje šum a špatně předpovídá další měření.
  • „Když graf vypadá jako přímka, jde o přímou úměrnost.“ Přímá úměrnost navíc vyžaduje průchod počátkem a fyzikální zdůvodnění.
  • „Software vybere správnou funkci sám.“ Software optimalizuje parametry zadaného modelu; smysluplnost modelu musí posoudit člověk.
  • „Vysoké R2 dokazuje teorii.“ Je to jen jedna charakteristika shody modelu s konkrétními daty.
  • „Korelace dokazuje příčinu.“ Společný vývoj může mít třetí příčinu nebo vzniknout náhodou.

Slovníček

funkce
function
model
model
fitování / prokládání
fitting
nejlepší fit
best fit
parametr
parameter
směrnice
slope
průsečík
intercept
reziduum
residual
odlehlý bod
outlier
metoda nejmenších čtverců
least-squares method
korelace
correlation
příčinná souvislost
causation