Hookův zákon
Dokázali byste z těchto čtrnácti písmen sestavit fyzikální zákon?
Robert Hooke: A Description of Helioscopes and Some Other Instruments, 1676, s. 31
Ut tensio, sic vis.
„Jaké prodloužení, taková síla.“
Tato písmena nejsou novodobá hádanka. Robert Hooke je skutečně nechal vytisknout roku 1676 na konci spisu A Description of Helioscopes and Some Other Instruments. Uvedl je pod oznámením „pravé teorie pružnosti neboli pružicí schopnosti“, samotné pravidlo však čtenářům ještě nevysvětlil.
Anagram sloužil jako časově doložený záznam objevu: Hooke mohl později ukázat, že řešení znal už při vydání knihy, aniž by je musel okamžitě prozradit. Roku 1678 zveřejnil výklad ve spise Lectures de Potentia Restitutiva a písmena rozluštil jako Ut tensio, sic vis - čím větší prodloužení, tím větší síla.
Za krátkou latinskou větou se skrývá jeden z nejjednodušších a nejužitečnějších vztahů fyziky. Popisuje chování pružin, drátů i nosných částí staveb, ovšem pouze tehdy, dokud je jejich deformace dostatečně malá a pružná.
Než video spustíte, zkuste předpovědět, co se po uvolnění stane s horním a dolním koncem nataženého slinky. Záznam ukazuje překvapivý pokus, ale Hookův zákon ani Youngův modul předem nevyloží.
Zobrazit odpověď
O 4 cm. Dvojnásobná síla vyvolá dvojnásobné prodloužení. Toto pravidlo však platí jen v oblasti lineární pružné deformace.
Prodloužení nestačí
Tyč měla před zatížením délku l0. Po působení tahových sil má délku l. Její prodloužení je
Samotné prodloužení ale nevystihuje velikost deformace. Prodloužení o 1 mm je výrazné u drátku dlouhého 10 mm, ale téměř nepatrné u lana dlouhého 10 m. Proto porovnáváme prodloužení s původní délkou tělesa.
Poměrné prodloužení ε je bezrozměrová veličina. Často je vyjadřujeme v procentech. Například ε = 0,001 odpovídá poměrnému prodloužení 0,1 %.
Stejné prodloužení
Dvě tyče se mohou prodloužit o stejnou délku Δl.
Jiná deformace
Kratší tyč má při stejném prodloužení větší poměrné prodloužení ε.
Hookův zákon pro materiál
Pokusy ukazují, že při malé pružné deformaci tahem je normálové napětí přímo úměrné poměrnému prodloužení:
- σn je normálové napětí [Pa],
- ε je poměrné prodloužení [1],
- E je Youngův modul neboli modul pružnosti v tahu [Pa].
Youngův modul je materiálová konstanta. Čím je jeho hodnota větší, tím větší napětí je potřeba k dosažení stejného poměrného prodloužení. U ocelí se pohybuje přibližně kolem 200 až 220 GPa, u hliníku kolem 70 GPa.
Interaktivně: Jak reagují různé materiály?
Uvažujme tyč dlouhou 1,00 m. Tentokrát zadáváme pouze to, co s tyčí skutečně děláme: vybereme materiál a posuvníkem zvětšujeme normálové napětí. Model ukáže, jaké poměrné i skutečné prodloužení tím vznikne.
Změna délky je na obrázku mnohonásobně zvětšena, aby byla viditelná. Výpočet používá skutečné hodnoty a předpokládá lineární pružnou oblast.
Proč se při stejném napětí hliníková tyč prodlouží více než ocelová?
Hliník má přibližně třikrát menší Youngův modul. Ze vztahu ε = σn/E proto při stejném napětí vychází přibližně třikrát větší poměrné prodloužení.
Jak souvisí tyč s pružinou?
U konkrétní pružiny nebo jiného pružného tělesa se Hookův zákon často zapisuje pomocí velikostí síly a prodloužení:
Konstanta tuhosti k nezávisí pouze na materiálu, ale také na tvaru a rozměrech tělesa. U rovné tyče se stálým průřezem lze oba zápisy propojit:
Pro takovou tyč tedy platí k = ES/l0. Tyč je tužší, pokud je z tužšího materiálu, má větší průřez nebo je kratší.
Pro zájemce: Proč se někdy píše F = −kx?
Znaménko minus vyjadřuje směr vratné síly pružiny: síla působí proti výchylce a snaží se pružinu vrátit do rovnovážné polohy. Při práci pouze s velikostmi síly a prodloužení zapisujeme vztah bez znaménka minus.
Kdy Hookův zákon platí?
Hookův zákon je přibližný zákon pro lineární pružnou oblast. Neříká, že napětí a deformace jsou přímo úměrné při libovolném zatížení.
- Po odlehčení musí deformace vymizet.
- Závislost napětí na poměrném prodloužení musí být přibližně lineární.
- U oceli bývá tato oblast jen do několika desetin procenta poměrného prodloužení; přesná hranice závisí na konkrétní oceli.
- Beton, litina, žula a další křehké či nestejnorodé materiály se mohou při tahu a tlaku chovat výrazně odlišně. Jeden jednoduchý lineární model proto nemusí stačit.
Při pružném stlačení můžeme použít poměrné zkrácení ε = |Δl|/l0 a modul pružnosti v tlaku. U mnoha běžných homogenních materiálů jsou moduly pružnosti v tahu a tlaku přibližně stejné.
Otázky a úlohy
1. Tyč dlouhá 2,0 m se prodlouží o 1,0 mm. Jaké je její poměrné prodloužení?
ε = Δl/l0 = 0,001/2,0 = 0,0005 = 0,05 %.
2. Ocel má Youngův modul 210 GPa. Jaké napětí odpovídá poměrnému prodloužení 0,10 %?
Nejprve 0,10 % = 0,001. Potom σ = Eε = 210 · 109 · 0,001 = 210 · 106 Pa = 210 MPa.
3. Ocelová a hliníková tyč mají stejné rozměry. Která se při stejné tahové síle více prodlouží?
Hliníková tyč. Při stejných rozměrech a stejné síle vznikne v obou tyčích stejné napětí, ale hliník má menší Youngův modul. Ze vztahu ε = σ/E proto vychází větší poměrné i absolutní prodloužení.
4. Znamená větší Youngův modul také větší mez pevnosti?
Ne. Youngův modul popisuje tuhost v lineární pružné oblasti, zatímco mez pevnosti souvisí s porušením materiálu. Jde o různé materiálové vlastnosti.
5. Proč nemůžeme Hookův zákon použít až do přetržení tyče?
Protože při větším zatížení přestává být vztah mezi napětím a deformací lineární a může vzniknout trvalá deformace. Hookův zákon platí pouze v lineární pružné oblasti.
Časté omyly
- „Prodloužení a poměrné prodloužení jsou totéž.“ Ne. Prodloužení má jednotku délky, poměrné prodloužení je podíl dvou délek a nemá jednotku.
- „Youngův modul vyjadřuje pevnost.“ Vyjadřuje tuhost materiálu v lineární pružné oblasti.
- „Hookův zákon platí pro každou pružnou deformaci.“ Některé materiály se deformují pružně, ale jejich závislost není lineární.
- „Dvakrát delší tyč se při stejné síle prodlouží stejně.“ Při stejném materiálu a průřezu se prodlouží dvakrát více.
- „Konstanta k patří materiálu.“ Tuhost konkrétního tělesa závisí i na jeho tvaru a rozměrech; materiálovou konstantou je Youngův modul E.
Metodická poznámka pro učitele
Úvodní anagram lze nejprve promítnout bez nápovědy a nechat skupiny žáků odhadnout, co mohl Hooke ukrývat. Pro experimentální ověření je vhodná pružina, sada závaží a délkové měřidlo; žáci zaznamenají jednotlivé dvojice hodnot jako samostatné body a teprve následně hledají lineární závislost. Je vhodné důsledně rozlišovat tuhost konkrétní pružiny k od Youngova modulu materiálu E. Interaktivní model používá idealizované konstantní hodnoty modulu a nezobrazuje přechod k plastické deformaci.
Česko-anglický slovníček
- Hookův zákon
- Hooke's law
- prodloužení
- extension
- poměrné prodloužení
- strain
- normálové napětí
- normal stress
- Youngův modul
- Young's modulus
- modul pružnosti v tahu
- tensile modulus
- tuhost pružiny
- spring constant
- lineární pružnost
- linear elasticity
- poměrné zkrácení
- compressive strain
- vratná síla
- restoring force