Kapaliny v pohybu I

Novozélandská řeka Waikato teče nejprve korytem širokým přibližně 100 metrů. Před Huka Falls se však náhle sevře do skalní soutěsky široké jen asi 15 metrů. Voda se před zúžením trvale nehromadí ani se cestou neztrácí. Z dronu je přechod mezi širokým tokem a úzkou soutěskou vidět zvlášť dobře.

Video: Huka Falls from above, Taupo – New Zealand with a drone (3:10).

Otázka na úvod: Co se musí změnit, aby úzkou soutěskou za každou sekundu proteklo stejné množství vody jako širokou částí řeky?

Kapalina jako soustava pohybujících se částic

Při popisu proudění si kapalinu představujeme rozdělenou na velmi malé částice tekutiny. Nejde o jednotlivé molekuly, ale o malé objemy obsahující obrovské množství molekul. Každé takové částici můžeme v daném okamžiku přiřadit polohu a vektor rychlosti.

Na rozdíl od tuhého tělesa se sousední části kapaliny mohou pohybovat různými rychlostmi a jejich vzájemná poloha se mění. Úplný popis každé částice by byl nepraktický, proto hledáme veličiny a obrazce, které proudění vystihnou jednodušeji.

Rychlost v

Popisuje, jak rychle a kterým směrem se částice kapaliny pohybuje v určitém místě.

Průtok Q

Popisuje, kolik kapaliny projde zvoleným průřezem za určitý čas.

Ustálené a neustálené proudění

Pozorujeme jedno pevně zvolené místo v potrubí. Pokud se v tomto místě rychlost proudění s časem nemění, nazýváme proudění ustálené neboli stacionární. Jednotlivé částice se stále pohybují, ale každá nová částice procházející daným místem má stejný vektor rychlosti jako částice před ní.

Při neustáleném proudění se rychlost v témže místě s časem mění. Příkladem je rozbíhání čerpadla, pulzující proud z pístu nebo rychle se měnící tok řeky během povodně.

Ustálené neznamená nehybné. Znamená pouze, že se podmínky proudění v každém pevném místě s časem nemění.

Musí mít kapalina všude stejnou rychlost?

Nemusí. V ustáleném proudění může být v široké části potrubí rychlost menší a v úzké části větší. Podstatné je, že se rychlost v každém z těchto míst nemění s časem.

Proudnice a proudová trubice

Proudnice je myšlená čára nakreslená tak, že tečna k ní v každém bodě ukazuje směr okamžité rychlosti proudící tekutiny. Šipky na proudnici určují směr pohybu; hustší zakreslení proudnic obvykle znázorňuje větší rychlost.

Proudnice se před překážkou rozdělují, obtékají ji a za ní se opět sbíhají. V každém bodě míří rychlost tečně k příslušné proudnici. Osová čára byla pro větší názornost odstraněna. Zdroj původního schématu: Rex the first, Wikimedia Commons, public domain.

Při ustáleném proudění se proudnice nemění a trajektorie částic s nimi splývají. Dvě proudnice se nemohou protínat: v místě průsečíku by rychlost musela mít současně dva různé směry.

Svazek proudnic ohraničuje proudovou trubici. Přes její boční stěnu kapalina neprotéká, protože rychlost je všude tečná k proudnicím. Kapalina vstupuje a vystupuje pouze průřezy proudové trubice.

Jak proudnice zviditelnit?

Do kapaliny lze přidat tenké proužky barviva nebo drobné částice a sledovat jejich pohyb. Ve vzduchu se používá kouř, mlha či drobná vlákna. Proudnice jsou však modelové čáry; barvivo nebo kouř je ukazují věrně hlavně při ustáleném proudění.

Vyzkoušejte sami: kolik vody teče z kohoutku?

Pod proud vody postavte nádobu známého objemu a změřte dobu potřebnou k jejímu naplnění. Ještě lépe zachycujte vodu po předem zvolený čas a potom změřte její objem. Použijte čistou nádobu a zachycenou vodu nevylévejte: pokud je pitná, můžete ji vypít nebo použít při vaření; jinak s ní zalijte rostliny.

Poměr zachyceného objemu a doby měření je objemový průtok:

Q_V = Vt

Jednotkou v soustavě SI je m³·s⁻¹. V běžné praxi se často používají také litry za sekundu nebo litry za minutu.

Výpočet z měření

Zachycený objem V [l]Doba t [s]Objemový průtok

Jak snížit chybu měření?

Měřte delší dobu nebo větší objem, několikrát měření zopakujte a kohout během série nepřenastavujte. Reakční doba při spouštění stopek pak tvoří menší část celkového času.

Jak souvisí průtok s rychlostí?

Uvažujme potrubí s průřezem S. Za dobu t se kapalina se střední rychlostí v posune o dráhu s = vt. Průřezem tedy projde pomyslný válec kapaliny o objemu

V = Ss = Svt.

Po dosazení do definice Q_V = V/t dostaneme

Q_V = Sv.

Rychlost v zde představuje střední rychlost v daném průřezu. U skutečné kapaliny bývá proudění u stěn pomalejší než uprostřed potrubí.

Příklad: řeka

Řeka má průměrný průřez 50 m² a střední rychlost 2,0 m·s⁻¹. Její objemový průtok je Q_V = 100 m³·s⁻¹. Za jedinou sekundu tedy profilem proteče přibližně 100 000 litrů vody.

Rovnice kontinuity

Kapalinu považujme za nestlačitelnou a proudění za ustálené. Kapalina se uvnitř potrubí nemůže hromadit ani z něj mizet. Objem, který za sekundu vstoupí do jedné části potrubí, proto musí za sekundu vystoupit jinou částí:

Q_V = S₁v₁ = S₂v₂ = konst.

Zmenší-li se průřez potrubí, stejný objem musí užším místem projít za stejnou dobu. Střední rychlost se proto zvětší. Nejde o tvrzení, že užší potrubí samo vytvoří větší průtok; průtok je v celé nerozvětvené trubici stejný a mění se rychlost.

Návrat k úvodní otázce: V úzké soutěsce je obsah průřezu proudu menší než v široké části řeky. Aby oběma místy protekl za sekundu přibližně stejný objem vody, musí voda v soutěsce proudit větší střední rychlostí. Podle vztahu S₁v₁ = S₂v₂ odpovídá menšímu průřezu větší rychlost.

Průřez a rychlost

Průřez úzké části S₂: 40 % z S₁Rychlost v široké části v₁ [m·s⁻¹]

Rychlost v₁1,0 m·s⁻¹

Rychlost v₂2,5 m·s⁻¹

Poměr průtoků1 : 1

Co se stane při větvení potrubí?

Celkový průtok před rozvětvením se rovná součtu průtoků ve všech větvích:

Q = Q₁ + Q₂ + …

Do každé jednotlivé větve tedy nemusí téct stejný průtok jako před rozvětvením. Zachovává se jejich součet.

Vyzkoušejte sami: proč voda z přivřené hadice dostříkne dál?

Nejprve nechte vodu vytékat z volného konce zahradní hadice a odhadněte, kam proud dopadne. Potom část otvoru zakryjte prstem. Otvor se zmenší a voda obvykle vystupuje větší rychlostí, takže proud dostříkne dál. Pokus provádějte při zalévání, aby voda nepřišla nazmar.

Před pokusem: Zmenší se po přivření hadice pouze množství vytékající vody, nebo se změní také rychlost proudu?

Jak výsledek souvisí s rovnicí kontinuity?

V menším výstupním otvoru musí voda při podobném průtoku proudit rychleji. U skutečné hadice však průtok nezůstává úplně stejný: přivřením otvoru se obvykle také zmenší. Výsledek proto závisí na tlaku ve vodovodu, délce a průměru hadice i na tom, jak velkou část otvoru zakryjeme. Rovnice kontinuity popisuje vztah mezi průřezem, rychlostí a skutečným průtokem; sama neurčuje, jaký průtok dodá kohoutek.

Hmotnostní průtok

Někdy nás nezajímá objem, ale hmotnost tekutiny, která projde průřezem za sekundu. Hmotnostní průtok definujeme

Q_m = mt.

Protože m = ρV, platí

Q_m = ρQ_V = ρSv, [Q_m] = kg·s⁻¹.

Kolik vody proteče za hodinu?

Potrubím protéká voda objemovým průtokem 1,0 l·s⁻¹. Určete hmotnostní průtok vody a hmotnost vody, která potrubím proteče za jednu hodinu. Uvažujte hustotu vody 1000 kg·m⁻³.

Řešení

Nejprve převedeme objemový průtok na základní jednotku:

Q_V = 1,0 l·s⁻¹ = 0,0010 m³·s⁻¹.

Hmotnostní průtok určíme ze vztahu Q_m = ρQ_V:

Q_m = 1000 · 0,0010 kg·s⁻¹ = 1,0 kg·s⁻¹.

Jedna hodina má 3600 sekund, a proto potrubím proteče

m = Q_mt = 1,0 · 3600 kg = 3600 kg = 3,6 t.

Za jednu hodinu tedy potrubím proteče přibližně 3,6 tuny vody.

Kdy nestačí rovnice S₁v₁ = S₂v₂?

Pokud se významně mění hustota tekutiny, zachovává se hmotnostní průtok: ρ₁S₁v₁ = ρ₂S₂v₂. U běžného proudění kapalin je změna hustoty obvykle zanedbatelná, u stlačitelných plynů však nemusí být.

Technická aplikace: přeliv jako obří špunt

Kruhový otvor na fotografii připomíná vytažený špunt v obrovském umyvadle. Ve skutečnosti jde o nálevkovitý bezpečnostní přeliv přehrady Monticello v Kalifornii. Dokud je hladina pod jeho okrajem, voda do něj neteče. Když hladina stoupne příliš vysoko, voda začne přes okraj přepadat a tunelem odtéká pod hráz. Přeliv tak omezuje další růst hladiny a chrání přehradu před nekontrolovaným přelitím.

Nálevkovitý bezpečnostní přeliv přehrady Monticello připomínající obří odtokový otvor — Morning Glory Spillway na přehradě Monticello. Foto: U.S. Bureau of Reclamation, Wikimedia Commons, public domain.

Pro správný návrh nestačí znát pouze rozměry otvoru. Inženýři potřebují určit, jaký objem vody může přitékat do nádrže za sekundu a jaký průtok dokáže přeliv bezpečně odvést.

Biologická aplikace: proč proudí krev v kapilárách pomalu?

Rovnici kontinuity můžeme použít také při přibližném popisu proudění krve. Ze srdce krev nejprve vstupuje do aorty. Ta se postupně větví do tepen, tepének a nakonec do obrovského množství velmi tenkých kapilár, které jsou v jednotlivých částech těla zapojeny vedle sebe.

Jedna kapilára je velmi úzká, ale rozhodující není průřez jedné kapiláry. Pro rovnici kontinuity musíme sečíst průřezy všech kapilár, kterými krev současně proudí.

Jejich celkový průřez je mnohem větší než průřez aorty. Stejný celkový objemový průtok se proto rozdělí do mnoha větví a střední rychlost krve výrazně klesne. Pomalý pohyb v kapilárách poskytuje více času pro výměnu kyslíku, oxidu uhličitého, živin a odpadních látek mezi krví a tkáněmi.

Úzká jednotlivá kapilára neznamená velkou rychlost, protože kapiláry nejsou zapojeny jedna za druhou. Jsou jich obrovská množství vedle sebe a jejich průřezy se sčítají.

Leonardo da Vinci: voda kreslená jako vlasy

Leonardo da Vinci pozoroval proudění řek, vodopády, vlny i víry a snažil se zachytit jejich strukturu kresbou. Vodu často přirovnával k vlasům: jednotlivé prameny se mohou vinout, rozdělovat a vytvářet víry, ale dohromady ukazují směr pohybu celého proudu. Jeho náčrty nejsou dnešními proudnicemi v přesném matematickém smyslu, představují však mimořádně raný pokus zviditelnit uspořádání proudění.

Otázka k historii: Co může přesná kresba odhalit o pohybu vody, co bychom při krátkém pohledu na skutečný proud snadno přehlédli?

Procvičení

1. V potrubí se průřez zmenší na polovinu. Jak se změní rychlost nestlačitelné kapaliny při ustáleném proudění?

2. Co znamená ustálené proudění?

3. Jedna trubice se rozdělí do dvou větví. Co se zachovává?

Časté omyly

„Průtok a rychlost jsou totéž.“ Rychlost má jednotku m·s⁻¹; objemový průtok udává objem za čas a má jednotku m³·s⁻¹.
„Ustálené proudění znamená, že kapalina stojí.“ Částice se pohybují, pouze se v pevném místě nemění rychlost s časem.
„V užší trubici vždy protéká méně kapaliny.“ V jedné nerozvětvené trubici je při ustáleném proudění nestlačitelné kapaliny objemový průtok stejný; v užším místě roste rychlost.
„Proudnice je skutečná čára v kapalině.“ Je to modelová čára ukazující směr rychlosti. Zviditelnit ji můžeme barvivem nebo částicemi.
„Krev musí v každé kapiláře proudit rychle, protože je úzká.“ Průtok se rozděluje mezi velké množství paralelních kapilár; rozhoduje jejich celkový průřez.

Česko-anglický slovníček

proudění: flow
částice tekutiny: fluid particle
ustálené proudění: steady flow
neustálené proudění: unsteady flow
proudnice: streamline
trajektorie částice: pathline
proudová trubice: streamtube
průřez: cross-sectional area
objemový průtok: volumetric flow rate
hmotnostní průtok: mass flow rate
rovnice kontinuity: continuity equation
nestlačitelná kapalina: incompressible liquid
větvení: branching
střední rychlost: mean velocity