Kapaliny v pohybu II

Ilustrace z prvního vydání knihy Hydrodynamica z roku 1738

Ilustrace z prvního vydání Hydrodynamica, 1738 (volné dílo).

V rodině Bernoulliů nebyla matematika jen povoláním. Byla také zdrojem soutěživosti, sporů a někdy i otevřeného nepřátelství. Daniel Bernoulli pracoval přibližně deset let na knize, v níž chtěl popsat pohyb vody pomocí několika společných fyzikálních myšlenek. Kniha vyšla roku 1738 pod názvem Hydrodynamica.

Danielův otec Johann byl už tehdy jedním z nejuznávanějších matematiků Evropy. Úspěch vlastního syna však nepřijal jako důvod k radosti. Napsal podobně zaměřenou knihu Hydraulica a označil ji rokem 1732, ačkoli vznikla později. Čtenář tak měl nabýt dojmu, že Daniel převzal hlavní myšlenky od svého otce. Spor o prvenství se tedy neodehrál mezi dvěma vzdálenými vědci, ale uvnitř jedné rodiny.

V centru Danielovy práce byla jednoduchá, ale dalekosáhlá představa: pohyb vody, její výška a tlak na stěny nádoby spolu souvisejí. Kniha pomohla položit základy hydrodynamiky, ale zároveň se stala nejvýraznější epizodou dlouhé rodinné rivality.

Krátké čtení v angličtině

Daniel Bernoulli and His Difficult Family – krátká kapitola z knihy vydané National Academies Press popisuje osm matematiků v rodině Bernoulliů, jejich vzájemnou soutěživost i spor mezi Danielem a Johannem.

Z předchozí kapitoly už víme, že stejný objem vody musí úzkým místem trubice protéci rychleji než místem širokým. Tím ale vzniká nová otázka: větší rychlost znamená také větší kinetickou energii. Energie se přitom nemůže objevit sama od sebe.

Otázka na úvod: Jestliže voda v užší trubici zrychlí, odkud získá větší kinetickou energii?

Odvození Bernoulliho rovnice

V minulé kapitole jsme zjistili, že kapalina v užší části potrubí proudí rychleji. Větší rychlost však znamená větší kinetickou energii. Odkud ji kapalina získá? U ideální kapaliny se energie neztrácí třením: může se pouze převádět mezi prací tlakových sil, kinetickou energií a tíhovou potenciální energií.

Sledujme určité množství kapaliny, které se za krátkou dobu posune z místa 1 do místa 2. Protože je kapalina nestlačitelná, objem ΔV, který vstoupí vlevo, se rovná objemu, který vystoupí vpravo. Oba barevné „válečky“ na obrázku tedy mají stejný objem, i když mají jiný tvar.

Na vstupu působí tlaková síla ve směru pohybu a vykoná kladnou práci

W₁ = F₁Δx₁ = p₁S₁Δx₁ = p₁ΔV.

Na výstupu míří tlaková síla okolní kapaliny proti pohybu, takže její práce je záporná: W₂ = −p₂ΔV. Celková práce tlakových sil je

W = (p₁ − p₂)ΔV.

Nyní určíme změnu kinetické energie. Sledovaný objem má hmotnost Δm = ρΔV. V místě 1 má proto kinetickou energii

E_k1 = ½Δm v₁² = ½ρΔV v₁²,

a v místě 2 energii E_k2 = ½ρΔV v₂². Její přírůstek tedy je

ΔE_k = E_k2 − E_k1 = ½ρΔV(v₂² − v₁²).

Pokud se zároveň změní výška, změní se i tíhová potenciální energie o ΔE_p = ρΔV g(h₂ − h₁). Práce tlakových sil se rovná součtu obou změn:

(p₁ − p₂)ΔV = ½ρΔV(v₂² − v₁²) + ρgΔV(h₂ − h₁).

Po vydělení objemem ΔV a úpravě dostaneme

p₁ + ½ρv₁² + ρg h₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg h₂.

Pro jaké proudění tento tvar používáme?

Pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny, u níž zanedbáme viskozitu a další ztráty mechanické energie. Rovnice platí podél jedné proudnice; v jednoduchém proudění ji běžně používáme mezi dvěma zvolenými místy.

Odpověď na úvodní otázku: Kapalina v užší části nezíská kinetickou energii „zadarmo“. Dodají jí ji tlakové síly; případně se může část energie uvolnit také poklesem kapaliny do menší výšky.

Co jednotlivé členy vyjadřují?

Každý člen Bernoulliho rovnice vyjadřuje mechanickou energii připadající na jednotku objemu kapaliny:

Příspěvek	Člen	Význam
tlakový	p	energie předávaná prací tlakových sil na jednotku objemu
kinetický	½ρv²	kinetická energie na jednotku objemu
polohový	ρg h	tíhová potenciální energie na jednotku objemu

p + ½ρv² + ρg h = konst.

Všechny členy mají jednotku J·m⁻³, která je shodná s pascalem. Nejde však o tři různé tlaky, ale o tři příspěvky k mechanické energii na jednotku objemu.

Vodorovná zužující se trubice

Jsou-li obě místa ve stejné výšce, polohové členy se odečtou. Bernoulliho rovnice se zjednoduší:

p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².

Z rovnice kontinuity víme, že v užší části je větší rychlost. Kinetický člen se tedy zvětší a statický tlak se musí zmenšit.

Otázka před videem: Ve které měřicí trubičce bude hladina níže – nad širokou, nebo nad úzkou částí?

Video: Bernoulli's Principle Demo: Venturi Tube, Utah State University (2:13).

Odpověď: Nejnižší hladina je nad nejužší částí, protože tam voda proudí nejrychleji a má nejmenší statický tlak.

Model Venturiho trubice

Průřez zúžení: 40 %Rychlost v široké části: 1,0 m·s⁻¹

Svislé trubice jsou nahoře otevřené a dole ústí přímo do proudu. Při zvětšování rychlosti klesá statický tlak v obou místech, proto klesají obě hladiny; nad zúžením klesá hladina více.

Proč tlak klesne? Pohled přes síly

Bernoulliho rovnice popisuje změnu energie. Stejný děj lze sledovat pomocí druhého Newtonova zákona:

Rovnice kontinuity říká, že směrem k užšímu místu rychlost roste.
Růst rychlosti znamená zrychlení ve směru proudnice.
Má-li se malý objem kapaliny zrychlovat, musí na něj působit výsledná síla dopředu.

Tlakové síly působí na malou částici kapaliny ze všech směrů. Svislé síly se navzájem vyruší. Také svislé složky šikmých sil se vyruší, protože uspořádání je souměrné podle osy trubice. Vlevo je však tlak větší než vpravo: síla mířící doprava a pravé složky obou šikmých sil jsou proto větší než odpovídající síly mířící doleva.

Výsledná síla směřuje doprava, takže se částice podle druhého Newtonova zákona zrychluje. Zrychlení kapaliny v zužující se části je způsobeno rozdílem tlaků. Energetický pohled říká totéž jinými slovy: práce tlakových sil zvětšuje kinetickou energii kapaliny.

Video: Why Does Fluid Pressure Decrease and Velocity Increase in a Tapering Pipe? (anglicky).

Za zúžením kapalina naopak zpomaluje a část statického tlaku se může obnovit. V reálné kapalině se kvůli víření a tření neobnoví všechen.

Hydrodynamické paradoxon

Tímto historickým školním názvem se označují zdánlivě překvapivé situace, v nichž rychlý proud vzduchu nebo vody předměty neroztlačí, ale naopak přiblíží nebo udrží v proudu. Nejde o skutečný rozpor s fyzikálními zákony.

Mezi dvěma předměty proudí vzduch rychleji než v okolí, a proto tam může být menší statický tlak. Na jejich vnější strany působí větší okolní tlak, který je přitlačí k sobě. To je odpověď na úvodní otázku s plechovkami a papíry.

Můžete vyzkoušet

dva visící proužky papíru,
dvě lehké plechovky položené vedle sebe,
dva míčky zavěšené na nitích,
papírový kotouček pod cívkou, jejímž otvorem foukáte,
pingpongový míček v čistém trychtýři.

Další příklady

jednoduchý rozprašovač,
míček udržovaný proudem fénu,
dva lehké modely loděk, mezi nimiž proudí voda,
přisávání plynu ve vodní vývěvě.

Pokus: míček a trychtýř

Vložte pingpongový míček do čistého trychtýře, držte jej širokým otvorem dolů a foukejte trubicí. Míček nemusí vypadnout: rychlý proud a tlakové rozdíly jej mohou udržet u trychtýře. Každý používejte vlastní čistý trychtýř.

Bernoulliho rovnice dává u těchto pokusů užitečný první model, ale skutečné proudění může zahrnovat také víření, strhávání okolního vzduchu a přilnutí proudu k zakřivenému povrchu (Coandův jev). Například stabilita míčku ve fénu není vysvětlena jen větou „rychlejší proud znamená menší tlak“.

Vodní vývěva a rozprašovač

Vodní vývěva

Rychlý proud vody prochází zúžením a snižuje v něm tlak. Je-li boční trubice připojena k uzavřené nádobě, vyšší tlak plynu v nádobě vytlačuje plyn směrem do proudu vody. Proud jej strhává a odvádí. Vývěva tedy „nesaje“ silou; plyn se pohybuje kvůli rozdílu tlaků.

Rozprašovač

Rychlý proud vzduchu nad ústím svislé trubičky vytvoří nižší tlak. Na hladinu kapaliny v nádobce působí větší atmosférický tlak, který kapalinu vytlačí vzhůru. Proud vzduchu ji potom rozbije na drobné kapky.

Vyzkoušejte sami: jednoduchý rozprašovač

Video: Air Pressure – The Straw Atomizer.

Ponořte brčko svisle do vody tak, aby jeho horní konec vyčníval několik centimetrů nad hladinu. Přes horní konec foukejte vodorovně druhým brčkem. Pokus dělejte nad dřezem nebo venku a nepoužívejte neznámé či dráždivé kapaliny.

Rychlost výtoku kapaliny

Bernoulliho rovnici nyní použijeme mezi dvěma konkrétními místy: bodem 1 na volné hladině a bodem 2 v malém otvoru. Otvor leží o výšku h níže.

Schéma Torricelliho zákona: voda vytéká otvorem ve výškové vzdálenosti h pod hladinou

Schéma Torricelliho zákona. Autor: Matt Cook, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0.

1. Tlaky se odečtou. Nádoba je otevřená a proud vytéká do vzduchu. Na hladině i v otvoru je proto stejný atmosférický tlak: p₁ = p₂ = p_a.

2. Hladina se pohybuje téměř neznatelně. Plocha hladiny je mnohem větší než plocha otvoru. Aby zůstal zachován objemový průtok, klesá hladina velmi pomalu, takže položíme v₁ ≈ 0. Rychlost v otvoru označíme v₂ = v.

3. Zvolíme nulovou výšku v úrovni otvoru. Potom h₂ = 0 a hladina má výšku h₁ = h. Po dosazení do Bernoulliho rovnice dostaneme

p_a + ρg h = p_a + ½ρv²ρg h = ½ρv²g h = ½v²v = √(2g h)

V prvním kroku se odečetl stejný atmosférický tlak na obou stranách rovnice; v dalším kroku se zkrátila hustota ρ.

To je Torricelliho vztah. Pokles tíhové potenciální energie vody se mění na kinetickou energii výtoku. Stejnou rychlost by v ideálním případě získalo těleso při volném pádu z výšky h. Ve skutečnosti je výtok kvůli tření, víření a tvaru otvoru o něco pomalejší.

Příklad s řešením

Otvor leží 0,80 m pod hladinou. Určete ideální rychlost výtoku.

Řešení

v = √(2 · 9,81 · 0,80) m·s⁻¹ ≐ 4,0 m·s⁻¹.

Kdy Bernoulliho rovnice nestačí?

Viskozita a turbulence mění část mechanické energie na vnitřní energii.
Čerpadlo energii kapalině dodává, turbína ji naopak odebírá.
U plynů se může výrazně měnit hustota.
Porovnáváme-li různé proudnice ve složitém proudění, nemusí mít stejnou Bernoulliho konstantu.

Vyšší rychlost neznamená za všech okolností automaticky nižší tlak. Závěr plyne z Bernoulliho rovnice pouze při splnění jejích předpokladů a při správném porovnání míst v proudění.

Daniel Bernoulli a Hydrodynamica

Daniel Bernoulli zveřejnil roku 1738 knihu Hydrodynamica. Proudění v ní spojoval s představou zachování „živé síly“, předchůdkyní dnešního pojmu kinetická energie, a odvodil vztah mezi pohybem kapaliny a tlakem na stěny. Dnešní kompaktní rovnici