Křivočarý pohyb, pohyb po kružnici
Když se lidé poprvé projeli na obřím kole
V roce 1893 se v americkém Chicagu konala světová výstava. O čtyři roky dříve ohromila návštěvníky pařížské výstavy Eiffelova věž a Američané chtěli představit něco stejně výjimečného. Inženýr George Ferris přišel s odvážným nápadem: postavit obrovské otáčející se kolo, které bude vozit lidi vysoko nad zemí.
Jeho návrh zpočátku vzbuzoval nedůvěru. Dokáže se tak velká konstrukce vůbec bezpečně otáčet? Kolo mělo průměr přibližně 76 metrů a 36 kabin, z nichž každá mohla pojmout až 60 cestujících. Nakonec se stalo jednou z největších atrakcí výstavy.
Dnes už nás podobná kola tolik nepřekvapují. Londýnské London Eye dosahuje výšky 135 metrů a jednu otáčku vykoná přibližně za 30 minut. Přesto nabízí zajímavou fyzikální otázku: Jak rychle se vlastně cestující pohybuje? Z kabiny se může zdát, že se téměř nehýbe. Za půl hodiny ale urazí stovky metrů po kružnici.
Podívejte se: London Eye v pohybu
Časosběrný záběr přímo z kabiny London Eye ukazuje, jak se při otáčení kola postupně mění výhled na Londýn.
Pokud je přehrávání na webu omezeno, otevřete video na YouTube .
Představte si dvě vyhlídková kola různé velikosti, která vykonají jednu otáčku za stejnou dobu. Budou se jejich cestující pohybovat stejně rychle?
Odpověď
Ne. Obě kola vykonají za stejnou dobu stejný počet otáček, ale cestující na větším kole urazí během jedné otáčky delší dráhu. Jejich velikost rychlosti proto bude větší.
Tento rozdíl později vysvětlíme pomocí úhlové rychlosti a vztahu mezi úhlovou a obvodovou rychlostí.
Abychom dokázali pohyb cestujících popsat, budeme se zabývat křivočarým pohybem, zejména rovnoměrným pohybem po kružnici.
Křivočarý pohyb
Při křivočarém pohybu je trajektorie tělesa křivka. Okamžitá rychlost má v každém bodě směr tečny k trajektorii. To znamená, že i když je velikost rychlosti stálá, může se její směr měnit.
Jedním z nejjednodušších příkladů je rovnoměrný pohyb po kružnici. Těleso se pohybuje po kružnici stále stejně rychle, ale vektor rychlosti neustále mění směr. Jde tedy o pohyb se zrychlením, přestože se velikost rychlosti nemění.
Pohyb po kružnici a průvodič
Průvodič (polohový vektor) spojuje střed kružnice s pohybujícím se bodem. Jeho velikost odpovídá poloměru r [m]. Při pohybu bodu se průvodič otáčí a opisuje úhlovou dráhu φ.
Interaktivní model: pohybující se bod
Změňte poloměr a frekvenci. Sledujte průvodič, úhel a směr okamžité rychlosti. Můžete také přidat druhý bod na stejném otáčejícím se kole.
Co ukazuje model?
Oba body vykonají za stejnou dobu stejný úhel, a proto mají stejnou úhlovou rychlost. Bod na větším poloměru ale urazí delší oblouk, takže má větší velikost obvodové rychlosti. Směr okamžité rychlosti je v každém bodě tečný ke kružnici.
Úhlová dráha a radián
Úhel lze měřit nejen ve stupních, ale také v radiánech [rad]. Radián je v soustavě SI zvláštní název pro bezrozměrnou jednotku. Jeho definice vychází z délky oblouku kružnice.
Symbol s označuje délku oblouku [m] a r poloměr kružnice [m]. Úhel 1 rad odpovídá oblouku, jehož délka se rovná poloměru.
Vyzkoušejte převod
Kolik radiánů odpovídá úhlu 90°? A jaký úhel ve stupních představuje π/3 rad?
Zobrazit řešení
90° = π/2 rad a π/3 rad = 60°.
Úhlová rychlost
Úhlová rychlost ω vyjadřuje, jak rychle se mění úhlová poloha průvodiče. Pro rovnoměrný pohyb po kružnici platí:
Jednotkou je [rad/s], případně [s−1]. Při rovnoměrném pohybu opíše průvodič za stejné časové intervaly stejné úhly. Jestliže počáteční úhel zvolíme nulový, potom:
Úhlová rychlost je při rovnoměrném pohybu po kružnici konstantní, i když se směr okamžité rychlosti pohybujícího se bodu neustále mění.
Perioda a frekvence
Perioda T [s] je doba jednoho úplného oběhu. Za tuto dobu průvodič opíše úhel 2π rad.
Frekvence f [Hz] udává počet oběhů za jednotku času. Jednotka hertz znamená jeden oběh za sekundu.
Řešený příklad: otáčky za minutu
Motor se otáčí rychlostí 3 000 otáček za minutu. Určete frekvenci, periodu a úhlovou rychlost.
Výsledek: Motor vykoná 50 otáček za sekundu, jedna otáčka trvá 0,020 s a úhlová rychlost je přibližně 314 rad/s.
Úhlová rychlost a velikost rychlosti
Bod na kružnici o poloměru r urazí při otočení o úhel Δφ oblouk délky Δs = rΔφ. Po vydělení časovým intervalem dostaneme vztah:
Při otáčení pevného kola mají všechny body stejnou úhlovou rychlost, ale velikost jejich rychlosti roste se vzdáleností od osy. Bod na obvodu se proto pohybuje rychleji než bod blíže středu.
Jaký je poměr velikostí rychlostí bodu na obvodu a bodu v polovině poloměru? Ověřte to v simulaci.
Vysvětlení
Oba body mají stejné ω. Protože v = rω, má bod na obvodu dvakrát větší rychlost než bod v polovině poloměru.
Praktická úloha: jízdní kolo
Kolo má poloměr 0,35 m a otáčí se frekvencí 2 Hz. Jakou rychlostí se pohybuje bod na obvodu vzhledem k ose kola?
Zobrazit výpočet
Rychlost bodu vzhledem k ose kola je přibližně 4,4 m/s. Při odvalování kola po silnici se rychlost vzhledem k zemi liší podle polohy bodu na kole.
Zajímavost: Gramofonová deska a CD
Gramofonová deska se během přehrávání otáčí stále stejnou úhlovou rychlostí. Například dlouhohrající deska vykoná 33⅓ otáčky za minutu. Jehla se postupně posouvá od vnějšího okraje ke středu, takže se pod ní drážka pohybuje stále pomaleji.
U běžného zvukového CD je tomu jinak. Data jsou zaznamenána ve spirálové stopě a při přehrávání se udržuje přibližně konstantní rychlost, kterou stopa prochází kolem čtecího místa. Jak se laser posouvá směrem k okraji, musí se disk otáčet pomaleji.
Proč musí CD při čtení dat blíže středu vykonávat více otáček za sekundu než při čtení dat u okraje?
Odpověď
Platí v = rω. Pokud má velikost rychlosti v zůstat stejná a poloměr r se zmenší, musí se úhlová rychlost ω zvětšit.
Otázky na závěr
1. Proč je rovnoměrný pohyb po kružnici zrychlený, i když se velikost rychlosti nemění?
Protože se neustále mění směr vektoru rychlosti. Zrychlení popisuje změnu vektoru rychlosti, nejen změnu jeho velikosti.
2. Jaký je směr okamžité rychlosti při pohybu po kružnici?
Je tečný ke kružnici v místě, kde se bod právě nachází.
3. Kolik radiánů odpovídá jedné úplné otáčce?
Jedna úplná otáčka odpovídá 2π rad neboli 360°.
4. Jak se změní perioda, pokud se frekvence zdvojnásobí?
Perioda se zmenší na polovinu, protože T = 1/f.
5. Proč mají body pevného otáčejícího se kola různou velikost rychlosti?
Všechny mají stejnou úhlovou rychlost, ale různé poloměry. Podle v = rω je velikost rychlosti přímo úměrná vzdálenosti od osy.
Časté omyly
- „Při rovnoměrném pohybu po kružnici se rychlost nemění.“ Nemění se její velikost, ale mění se její směr. Vektor rychlosti tedy není konstantní.
- „Rychlost pohybu po kružnici směřuje do středu.“ Okamžitá rychlost směřuje po tečně. Do středu směřuje dostředivé zrychlení.
- „Jeden radián je totéž co jeden stupeň.“ Jsou to různé jednotky úhlu: 1 rad ≈ 57,3°.
- „Perioda a frekvence jsou stejné veličiny.“ Perioda udává dobu jednoho oběhu [s], frekvence počet oběhů za sekundu [Hz]. Jsou převrácenými hodnotami.
- „Všechny body otáčejícího se kola mají stejnou velikost rychlosti.“ Mají stejnou úhlovou rychlost, ale body dále od osy mají větší velikost rychlosti.
- „Čím větší je perioda, tím větší je úhlová rychlost.“ Je tomu naopak: ω = 2π/T.
Slovníček
Reference
- Podklad k výuce: Křivočarý pohyb a pohyb po kružnici, poskytnuté poznámky.
- Wikimedia Commons: Original Ferris . Historická fotografie.
- Chicago History Museum: A Wheel With a View .
- London Eye .
- BIPM: The International System of Units (SI) .
- PhET Interactive Simulations: Rotation .