Napětí a deformace
Roku 1878 byly hlavní nosné kabely Brooklynského mostu už z velké části hotové, když přišla znepokojivá zpráva.
Zkoušky vzorků ukázaly, že dodavatel J. Lloyd Haigh použil část ocelových drátů horší kvality, než požadovala smlouva. Dráty už byly zapletené do mohutných kabelů vysoko nad řekou East River. Rozebrat je a začít znovu by znamenalo obrovské zdržení i náklady.
Hlavní inženýr Washington Roebling proto musel odpovědět na mnohem důležitější otázku než jen „jsou ty dráty pevné?“ Potřeboval vědět, jak velké síly budou kabely přenášet, na jaký průřez se tyto síly rozloží a jak velká bezpečnostní rezerva po použití horších drátů ještě zbývá. Rozhodl, že do každého ze čtyř hlavních kabelů bude přidáno dalších 150 kvalitních drátů. Most byl roku 1883 otevřen a jeho hlavní kabely slouží dodnes.
Tento příběh dobře ukazuje, proč konstruktérům nestačí znát pouze sílu. Stejná tahová síla může tenký drát přetrhnout, zatímco silné lano ji bezpečně přenese. Rozhoduje také plocha průřezu. Míru vnitřního namáhání tělesa popisujeme veličinou nazvanou mechanické napětí.
Krátké anglické video TED-Ed shrnuje stavbu Brooklynského mostu, práci rodiny Roeblingových i problém s nekvalitními dráty v hlavních kabelech.
Zobrazit odpověď
Napětí se zmenší na čtvrtinu. Plocha kruhového průřezu je úměrná druhé mocnině průměru. Dvojnásobný průměr tedy znamená čtyřnásobnou plochu průřezu.
Co drží napínanou tyč pohromadě?
Při pružné deformaci tahem se vzdálenosti mezi částicemi nepatrně zvětšují. Mezi částicemi proto působí síly, které se snaží obnovit původní uspořádání. Na úrovni celého tělesa je popisujeme jako vnitřní pružné síly.
Čárkovaná čára není skutečná mezera, ale pouze myšlený řez, v němž zkoumáme působení obou částí tyče. Oranžové šipky znázorňují vnější tahové síly; modré šipky vnitřní síly v řezu.
Je-li tyč v klidu, jsou její části v rovnováze. Velikost vnitřní pružné síly Fp je proto stejná jako velikost vnější tahové síly F. Síly v myšleném řezu tvoří podle třetího Newtonova zákona dvojici stejně velkých sil opačného směru.
Normálové napětí
Stav namáhání v příčném řezu popisujeme normálovým napětím. Při rovnoměrném rozložení vnitřní síly platí:
- σn je normálové napětí, jednotka [Pa],
- Fp je velikost vnitřní pružné síly kolmé k průřezu, jednotka [N],
- S je obsah průřezu, jednotka [m²].
Jeden pascal je velmi malé napětí, proto se v praxi často používají megapascaly: 1 MPa = 106 Pa. Praktická pomůcka je 1 MPa = 1 N/mm².
Větší síla
Při stejném průřezu znamená větší síla větší napětí.
Menší průřez
Při stejné síle znamená menší průřez větší napětí.
Interaktivně: Jak silné musí být lano?
Měňte hmotnost nákladu a průměr ocelového lana. Model počítá tahovou sílu F = mg, plochu kruhového průřezu a normálové napětí. Pro názornost porovnává výsledek s dovoleným napětím 60 MPa.
Pod zvoleným dovoleným napětím
Jde o zjednodušený školní model. Skutečný návrh lana musí zohlednit jeho konstrukci, vlastní hmotnost, dynamické účinky, opotřebení, uchycení i platné technické normy.
Proč při dvojnásobném průměru klesne napětí na čtvrtinu?
Pro kruh platí S = πd2/4. Zvětší-li se průměr dvakrát, plocha průřezu se zvětší 22 = 4krát. Při stejné síle je proto napětí čtyřikrát menší.
Jak odvodit vztah pro průměr lana?
Chceme zjistit, jaký průměr musí mít kruhové lano, aby normálové napětí nepřekročilo dovolenou hodnotu. Začneme definičním vztahem pro normálové napětí:
Visí-li náklad v klidu, je lano v rovnováze. Velikost vnitřní pružné síly se proto rovná tíze nákladu:
Lano má kruhový průřez. Jeho obsah vyjádříme pomocí průměru d:
Oba vztahy dosadíme do definice normálového napětí. U nejmenšího vyhovujícího průměru je napětí právě rovno dovolenému napětí, tedy σn = σdov:
Nyní rovnici upravíme tak, aby na levé straně zůstal hledaný průměr. Protože průměr je kladný, použijeme kladnou odmocninu:
Příklad: lano jeřábu
Jaký nejmenší průměr musí mít ocelové lano, které zvedá náklad o hmotnosti 2,5 t, jestliže normálové napětí nemá překročit 60 MPa? Hmotnost lana a zrychlování nákladu zanedbáme.
Zobrazit řešení
Nejprve převedeme hodnoty do základních jednotek:
m = 2,5 t = 2500 kg,
σdov = 60 MPa = 60 · 106 Pa.
Dosadíme do odvozeného vztahu:
Odpověď: V použitém zjednodušeném modelu musí mít lano průměr alespoň 22,8 mm. Průměr nelze zaokrouhlit dolů, proto bychom z celých milimetrů zvolili nejméně 23 mm. Skutečné jeřábové lano se vybírá podle technických norem, které zohledňují také jeho konstrukci, pohyb nákladu, opotřebení a další vlivy.
Mez pružnosti, mez pevnosti a dovolené napětí
Dokud napětí nepřekročí určitou hodnotu, může být deformace tělesa pružná a po odlehčení vymizet. Největší napětí, při němž je deformace ještě pružná, nazýváme mez pružnosti a značíme ji σE. Její hodnotu určujeme experimentálně.
Při dalším zvětšování napětí může vzniknout trvalá deformace a nakonec porušení tělesa. Mez pevnosti souvisí s největším napětím, které materiál při daném způsobu namáhání vydrží před porušením.
Konstrukce se běžně nenavrhují tak, aby pracovaly těsně na hranici porušení. Stanovuje se proto nižší dovolené napětí σdov, které se za daných podmínek nemá překročit.
Poměr mezního a dovoleného napětí se nazývá součinitel bezpečnosti k. Volba mezního napětí i požadované bezpečnosti závisí na materiálu, druhu namáhání, nejistotě zatížení, následcích poruchy a technických předpisech.
| Pojem | Co vyjadřuje |
|---|---|
| mez pružnosti | hranici, do níž je deformace ještě pružná |
| mez pevnosti | charakteristickou hranici odolnosti materiálu před porušením |
| dovolené napětí | největší napětí připouštěné při návrhu pro dané použití |
| součinitel bezpečnosti | kolikrát je zvolená mezní hodnota větší než dovolené napětí |
Otázky a úlohy
1. Dvě tyče ze stejného materiálu mají průřezy 2 mm² a 5 mm². Obě jsou napínány stejnou silou. Ve které vzniká větší normálové napětí?
Větší normálové napětí vzniká v tyči s průřezem 2 mm². Při stejné síle je napětí nepřímo úměrné ploše průřezu. V tenčí tyči je proto 5/2 = 2,5krát větší než v tyči s průřezem 5 mm².
2. Jaké napětí vznikne v drátu o průřezu 2 mm² při tahové síle 300 N?
σ = F/S = 300 N / 2 mm² = 150 N/mm² = 150 MPa.
3. Proč se u lana neposuzuje pouze tahová síla?
Stejná síla vyvolá v různě silných lanech různé napětí. O namáhání proto rozhoduje síla i plocha průřezu.
4. Co se může stát po překročení meze pružnosti?
Po odlehčení může zůstat trvalá deformace. Při dalším zvyšování napětí může dojít až k porušení tělesa.
5. Proč je dovolené napětí nižší než mezní napětí?
Aby konstrukce měla bezpečnostní rezervu pro nejistoty zatížení, rozdíly ve vlastnostech materiálu, opotřebení a další vlivy, které zjednodušený výpočet nemusí přesně zachytit.
Časté omyly
- „Napětí a síla jsou totéž.“ Ne. Napětí je podíl vnitřní síly a plochy průřezu.
- „Silnější lano má při stejné síle větší napětí.“ Naopak: větší průřez znamená menší napětí.
- „Když není vidět deformace, těleso není namáháno.“ Deformace může být velmi malá, přesto v tělese vznikají vnitřní síly a napětí.
- „Součinitel bezpečnosti je pro všechny konstrukce stejný.“ Jeho volba závisí na materiálu, zatížení, použití i předpisech.
- „Dovolené napětí je napětí, při němž se materiál právě přetrhne.“ Ne. Je záměrně nižší než příslušná mezní hodnota.
Metodická poznámka pro učitele
Úvodní odhad s dvojnásobným průměrem dobře odhalí záměnu průměru a plochy průřezu. Lze navázat dvěma papírovými pásky stejné délky, ale různé šířky, zatěžovanými postupně přidávanými kancelářskými sponkami. Model lana předpokládá klidný náklad, homogenní kruhový průřez a rovnoměrné rozložení napětí; není návodem k navrhování skutečného zdvihacího zařízení. Číselné hodnoty součinitelů bezpečnosti nejsou uváděny jako univerzální tabulka, protože se v praxi řídí konkrétními normami a podmínkami použití.
Česko-anglický slovníček
- mechanické napětí
- mechanical stress
- normálové napětí
- normal stress
- tahové napětí
- tensile stress
- vnitřní síla
- internal force
- plocha průřezu
- cross-sectional area
- mez pružnosti
- elastic limit
- mez pevnosti
- ultimate strength
- dovolené napětí
- allowable stress
- součinitel bezpečnosti
- factor of safety
- porušení
- failure