Odpor prostředí

Na konci pobytu Apolla 15 na Měsíci vzal astronaut David Scott do jedné ruky geologické kladivo a do druhé sokolí pírko. Připomněl Galileovu myšlenku, že bez odporu prostředí padají všechna tělesa stejně, a obě věci současně pustil.

Kladivo a pírko dopadly na měsíční povrch ve stejném okamžiku. Na Zemi by pírko zaostalo, přestože na ně stejně jako na kladivo působí tíhová síla. Rozdíl nezpůsobuje samotná gravitace, ale vzduch, kterým se tělesa pohybují. Měsíc má pouze mimořádně řídkou exosféru, takže při tomto pokusu byl odpor prostředí zanedbatelný.

Pokus s kladivem a pírkem při misi Apollo 15. Otevřít video na YouTube.

Otázka na úvod: Co přesně dělá vzduch s padajícím pírkem, že na Zemi dopadne později než kladivo?

Odkud se bere odporová síla?

Pohybuje-li se těleso vzduchem nebo kapalinou, musí okolní prostředí odtlačovat a současně po jeho povrchu kloužou vrstvy tekutiny. Tekutina proto působí na těleso silou, jejíž složka proti relativnímu pohybu se nazývá odporová síla prostředí.

Tlakový odpor

Před tělesem se proud zpomaluje a tlak roste. Za tělesem může vzniknout oblast nižšího tlaku a vířivý úplav. Rozdíl tlaků na přední a zadní straně vytváří sílu proti pohybu.

Tření o povrch

Vlivem vazkosti se vrstva tekutiny těsně u povrchu pohybuje s tělesem. Mezi sousedními vrstvami vzniká smykové napětí, které pohyb brzdí.

Proudění kolem koule zviditelněné kouřem v aerodynamickém tunelu — Proudění kolem koule zviditelněné kouřem. Za koulí se proudění odtrhává a vzniká úplav; tlak za koulí je proto menší než před ní. Zdroj: Wikimedia Commons, volné dílo.

Odporová síla vždy míří proti rychlosti tělesa vzhledem k prostředí. Letí-li míč proti větru, rozhoduje jeho rychlost vůči vzduchu, nikoli pouze vůči zemi.

Na čem závisí velikost odporu?

Rychlost vůči prostředí: rychlejší těleso obvykle musí za sekundu ovlivnit více tekutiny a předat jí více hybnosti.
Hustota prostředí: voda klade při stejné rychlosti zpravidla mnohem větší odpor než vzduch.
Velikost a orientace tělesa: důležitá je plocha nastavená proti proudu, nikoli automaticky celý povrch tělesa.
Tvar a drsnost: určují průběh mezní vrstvy, místo odtržení proudu a velikost úplavu.
Vazkost: ovlivňuje tření mezi vrstvami tekutiny a charakter proudění.

Neexistuje jediný vztah použitelný ve všech situacích. Záleží především na tom, zda je proudění kolem tělesa hladké a ovládané vazkostí, nebo zda se významně uplatňuje setrvačnost tekutiny, odtržení proudu a víření.

Velmi pomalý pohyb: odpor úměrný rychlosti

U malé koule, která se pomalu pohybuje vazkou kapalinou, může být proudění uspořádané a bez výrazného vířivého úplavu. V takovém případě platí Stokesův vztah

F_o = 6πηr v,

kde η je dynamická viskozita kapaliny, r poloměr koule a v její rychlost vůči kapalině. Zdvojnásobíme-li rychlost, odporová síla se v tomto režimu zdvojnásobí.

Tento vztah neplatí pro libovolně rychlou kouli. Použít jej můžeme tehdy, když je Reynoldsovo číslo velmi malé:

Re = ρvL/η.

Veličina L je charakteristický rozměr tělesa, například průměr koule. Reynoldsovo číslo porovnává význam setrvačnosti proudící tekutiny s významem její vazkosti. Malé Re znamená převahu vazkých účinků; s rostoucím Re se stále více uplatňuje setrvačnost, odtržení proudu a turbulence.

Pozorování ve třídě: kulička v glycerinu

Do vysoké průhledné nádoby s glycerinem lze pustit malou hladkou kuličku. Po krátkém rozjezdu se pohybuje téměř stálou rychlostí. Změřením doby průchodu mezi dvěma značkami lze určit její mezní rychlost. Pokus je vhodný jako učitelská demonstrace; po skončení kapalinu uchovejte pro další měření.

Rychlejší pohyb: odpor přibližně úměrný druhé mocnině rychlosti

U automobilu, cyklisty, míče nebo padajícího člověka se často používá vztah

F_o = ½ C_D ρS v².

Co znamená průřez S?

V tomto vztahu se S obvykle označuje jako obsah čelního neboli příčného průřezu tělesa. Můžeme si jej představit jako obsah stínu, který těleso vrhá na rovinu kolmou ke směru proudění. Kdyby těleso kolmo proletělo tenkou papírovou stěnou, S by odpovídalo obsahu vzniklého otvoru. Jde o obsah plochy, proto má jednotku m².

Interaktivní model: skutečný předmět a jeho čelní průmět

Stanfordský králíček vznikl 3D skenováním skutečné hliněné figurky. Posuvníkem figurku otáčíte kolem svislé osy po 5°. Všechny pohledy jsou vytvořeny kamerou ve stejné vzdálenosti a přesně ve vodorovné rovině, takže při otáčení nevidíme předmět střídavě více či méně shora. Vpravo je tentýž pohled převeden na černý průmět.

Natočení vůči směru pohledu: 0°

Pohled na 3D sken

Černý průmět

Figurka je natočena pod úhlem 0°.

Podkladem je Stanfordský králíček, povrchový model vytvořený z několika 3D skenů skutečné hliněné figurky. Jednotlivé pohledy byly pro tuto stránku vykresleny ortograficky v horizontální rovině, vždy ve stejném měřítku. Černá plocha proto přímo ukazuje, jak se s natočením mění obsah průmětu; uvedená hodnota je relativní, nikoli v m². Zdroj 3D dat: Stanford Computer Graphics Laboratory.

U automobilu nebo padajícího člověka se používá jejich čelní průmět. Natočení tělesa proto může S změnit. Název referenční plocha je obecnější: v některých oborech se podle dohody používá jiná plocha, například u křídla jeho půdorysná plocha. Při práci se součinitelem odporu proto musí být vždy zřejmé, k jaké ploše je vztažen.

Co vyjadřuje součinitel odporu C_D?

Součinitel odporu popisuje, jak výrazně tvar a orientace tělesa zvětšují nebo zmenšují odpor ve srovnání se základní hodnotou ½ρv²S. Lze jej vyjádřit jako

C_D = F_o / (½ρv²S).

C_D je bezrozměrný, tedy nemá žádnou jednotku. Výraz ½ρv² má jednotku pascal a po vynásobení plochou S dostaneme newton. V čitateli i jmenovateli je tedy síla a jednotky se při dělení zkrátí.

Těleso a orientace	Orientační C_D
Dobře proudnicové těleso	asi 0,04
Moderní osobní automobil	přibližně 0,25–0,40
Koule	asi 0,47
Krychle čelní stěnou proti proudu	asi 1,05
Tenká deska kolmá k proudu	asi 1,28

Hodnoty jsou pouze orientační. C_D není neměnná vlastnost tělesa: závisí také na natočení, drsnosti povrchu, Reynoldsově čísle a při vysokých rychlostech i na poměru rychlosti proudění k rychlosti zvuku.

Změna	Důsledek podle kvadratického modelu
Rychlost se zdvojnásobí	Odporová síla vzroste čtyřikrát.
Hustota vzduchu klesne na polovinu	Při stejné rychlosti klesne odporová síla na polovinu.
Čelní plocha se zvětší třikrát	Při stejném tvaru a rychlosti vzroste odporová síla třikrát.

Pozor: Lineární a kvadratický vztah nejsou dvě přesně oddělené možnosti. Jsou to vhodná přiblížení pro různé režimy proudění. Mezi nimi existuje přechodná oblast a součinitel odporu se může s Reynoldsovým číslem měnit.

Mezní rychlost při pádu

Po uvolnění tělesa je jeho rychlost nulová, a proto je zpočátku téměř nulový také odpor vzduchu. Tíhová síla převažuje a těleso zrychluje. S rostoucí rychlostí se však odpor zvětšuje, takže výsledná síla a zrychlení klesají.

Když se odporová síla vyrovná tíhové síle, výsledná síla je nulová. Těleso už nezrychluje a padá stálou mezní rychlostí. Zanedbáme-li vztlakovou sílu a použijeme kvadratický odpor, dostaneme

mg = ½ C_DρS v_m²,

Padák výrazně zvětší plochu S a změní součinitel odporu. Mezní rychlost se proto prudce zmenší. Ve skutečnosti se při otevření padáku mění síly během krátké doby a člověk nejprve zpomaluje; až potom se ustaví nová menší mezní rychlost.

Příklad: mezní rychlost parašutisty

Parašutista má hmotnost 75 kg. Uvažujme hustotu vzduchu 1,2 kg·m⁻³, součinitel odporu 1,0 a obsah čelního průřezu 0,70 m². Určete modelovou mezní rychlost.

Řešení

To je přibližně 150 km·h⁻¹. Výsledek je pouze odhad: poloha těla, oblečení i hustota vzduchu mění C_D a S.

Odpověď na úvodní otázku

Pírko má vzhledem ke své malé hmotnosti velkou plochu. Už při malé rychlosti na ně proto působí odpor vzduchu srovnatelný s jeho tíhou a jeho zrychlení se výrazně zmenší. Kladivo má při podobných rozměrech mnohem větší tíhu, takže je vliv odporu na jeho pohyb menší. Na Měsíci téměř žádný vzduch není, odpor je zanedbatelný a obě tělesa padají se stejným zrychlením.

Proč je rychlá jízda energeticky náročná?

Má-li se automobil nebo cyklista pohybovat stálou rychlostí, musí pohon vykonávat práci proti odporovým silám. Potřebný výkon je

P = F_ov.

Je-li aerodynamický odpor přibližně úměrný v², výkon potřebný pouze k jeho překonávání roste přibližně jako v³. Dvojnásobná rychlost tedy může vyžadovat přibližně osminásobný aerodynamický výkon. U vozidla se navíc uplatňuje valivý odpor, účinnost pohonu, sklon silnice a další ztráty.

Vyzkoušejte sami: papírové košíčky

Použijte stejné papírové košíčky na muffiny nebo kávové filtry.
Nechte z téže výšky padat jeden košíček a poté dva či tři vložené do sebe.
Natočte pád zpomaleným videem a porovnejte časy na úseku, kde už je rychlost téměř stálá.
Košíčky po pokusu uschovejte k dalšímu měření nebo je použijte podle původního účelu.

Hmotnost se přidáváním košíčků zvětšuje, ale obsah čelního průřezu zůstává přibližně stejný. Při kvadratickém odporu proto mezní rychlost roste přibližně s odmocninou hmotnosti.

Odpor prostředí ve sportu

Cyklistika a tvar helmy

Pro cyklistu je důležitý součin C_DS, často zapisovaný jako C_DA. Skloněním trupu se zmenší čelní průřez a vhodná helma může omezit odtržení proudu za hlavou. Dlouhá „kapka“ časovkářské helmy funguje nejlépe, když navazuje na záda; při zvednutí nebo natočení hlavy může její výhoda klesnout.

Plavání

Po odrazu se plavec snaží držet ruce před hlavou, hlavu mezi pažemi a celé tělo v jedné linii. Tím zmenší čelní průřez a omezí vznik širokého úplavu. Protože voda je mnohem hustší než vzduch, drobná změna polohy může odpor citelně změnit.

Golfový míček

Důlky na povrchu záměrně podporují přechod mezní vrstvy k turbulentnímu proudění. Turbulentní mezní vrstva lépe sleduje povrch, proud se odtrhne později a úplav je užší. Drsný míček tak může mít při vhodné rychlosti menší tlakový odpor než hladká koule.

Skoky na lyžích

Skokan neusiluje pouze o nejmenší odpor. Polohou těla, lyží i volbou kombinézy vytváří také vztlak. Výhodné je proto takové nastavení, které poskytne vhodný poměr vztlaku k odporu, nikoli nejmenší C_D za každou cenu.

Ve sportu se často neoptimalizuje samotný součinitel C_D. Rozhoduje součin C_DS, směr výsledné aerodynamické síly a někdy také stabilita sportovce.

Živočichové: nízký odpor není jen malé C_D

U živočichů je srovnávání součinitelů odporu obtížnější než u jednoduchých těles. Tělo se při plavání deformuje, ploutve vytvářejí vztlak i tah a různé studie volí jinou referenční plochu. Stejné číslo proto nemusí označovat totéž.

Živočich a studie	Použitá hodnota	Jak jí rozumět
Delfín skákavý	C_D = 0,01	Studie plavání se zátěží použila omočený povrch těla, nikoli čelní průřez.
Keporkak při klouzání	C_D ≈ 0,0026	Také zde byl součinitel vztažen k omočenému povrchu a použit v modelu klouzání.
Koule pro srovnání	C_D ≈ 0,47	Hodnota je obvykle vztažena k čelnímu průřezu. Proto ji nelze přímo porovnat s předchozími dvěma čísly.

Malé hodnoty u delfína a velryby tedy neznamenají, že mají stokrát menší odpor než stejně velká koule. Část rozdílu vzniká už volbou jiné plochy S. Pro porovnání celkového odporu je užitečnější znát součin C_DS a podmínky měření.

Žraločí kůže

Jemná žebra na šupinách jsou orientována ve směru proudění. Mohou omezovat příčný pohyb vírů těsně u povrchu a snižovat třecí složku odporu. Nejde o „dokonale hladký“ povrch; výhodná je právě uspořádaná mikrostruktura.

Tučňáci a bubliny

Tučňáci mohou při rychlém výstupu uvolnit vzduch zachycený v peří. Vrstva bublinek dočasně mění kontakt těla s vodou a může snížit odpor, což pomáhá při výskoku na led.

Souvislost s biologií: jak se šíří semena pampelišky?

Chmýr pampelišky výrazně zvětšuje účinnou plochu semene, aniž by podstatně zvýšil jeho hmotnost. Proudění skrz jemná vlákna vytváří nad chmýrem stabilní vířivou strukturu, která zvyšuje odpor a snižuje mezní rychlost. Semeno tak zůstává ve vzduchu déle a vítr je může zanést dál.

Otázky a úlohy

1. Proč odporová síla nepůsobí na stojící automobil za bezvětří?

Automobil se vůči vzduchu nepohybuje, takže nevzniká proudění vyvolané jeho relativním pohybem. Za větru by na stojící automobil aerodynamická síla působila.

2. Jak se změní kvadratický odpor, vzroste-li rychlost z 20 m·s⁻¹ na 30 m·s⁻¹?

Poměr rychlostí je 30/20 = 1,5. Odpor vzroste 1,5² = 2,25krát.

3. Proč padá zmačkaný papír rychleji než stejný nezmačkaný list?

Oba mají stejnou tíhu, ale nezmačkaný list má větší plochu nastavenou proti proudu a jiný součinitel odporu. Při stejné rychlosti na něj proto působí větší odpor a jeho mezní rychlost je menší.

4. Proč se cyklista při rychlé jízdě sklání?

Zmenší čelní plochu a obvykle také zlepší proudnicový tvar soustavy jezdec–kolo. Tím sníží aerodynamický odpor i potřebný výkon.

5. Těleso padá mezní rychlostí. Je v klidu?

Není. Pohybuje se stálou rychlostí. Nulová je výsledná síla a zrychlení, nikoli rychlost.

6. Proč nelze Stokesův vztah použít pro rychle letící míč?

Stokesův vztah předpokládá velmi malé Reynoldsovo číslo a uspořádané proudění ovládané vazkostí. Kolem rychle letícího míče se významně uplatňuje setrvačnost vzduchu, odtržení proudu a úplav.

Časté omyly

„Odpor vzduchu je vždy úměrný rychlosti.“ Lineární závislost platí jen v určitém režimu; při rychlejším proudění se často používá kvadratický model.
„Těžší těleso vždy padá rychleji.“ Ve vakuu mají všechna tělesa stejné tíhové zrychlení. V prostředí záleží také na ploše, tvaru, hustotě a režimu proudění.
„Při mezní rychlosti na těleso nepůsobí síly.“ Síly působí, ale jejich výslednice je nulová.
„Odpor závisí na rychlosti vůči zemi.“ Rozhoduje rychlost vůči okolní tekutině.
„Proudnicový tvar odstraní odpor.“ Odpor zmenší, ale tlakový odpor ani tření o povrch zcela nezmizí.
„Součinitel odporu je neměnná vlastnost tělesa.“ Mění se s orientací a režimem proudění.

Česko-anglický slovníček

odporová síla: drag force
tlakový odpor: pressure drag
tření o povrch: skin friction
součinitel odporu: drag coefficient
obsah čelního průřezu: frontal area
mezní rychlost: terminal velocity
vazkost: viscosity
Reynoldsovo číslo: Reynolds number
mezní vrstva: boundary layer
odtržení proudu: flow separation
úplav: wake
proudnicový tvar: streamlined shape