Opakování

Opakování – měření, jednotky, odhady a práce s daty

Úlohy opakují fyzikální veličiny a jednotky, převody jednotek, měření, fyzikální odhady, tabulky a grafy, funkce a fitování a absolutní a relativní odchylku.

Pokud odpovíte špatně, zobrazí se nejprve první nápověda. Při další chybné odpovědi dostanete konkrétnější nápovědu. Úplné řešení můžete kdykoli otevřít.

Vyřešeno správně: 0 / 20

Fyzikální veličiny a jednotky

1

Co je fyzikální veličina?

Co z následujícího je fyzikální veličina?

Fyzikální veličina popisuje vlastnost, kterou můžeme měřit a vyjádřit pomocí číselné hodnoty a jednotky.
U které možnosti můžeme přirozeně napsat například 1,20 m?
Řešení a vysvětlení

Správnou odpovědí je délka lavice.

Fyzikální veličina je vlastnost tělesa, látky nebo fyzikálního děje, kterou můžeme měřit. Výsledek měření zapisujeme pomocí číselné hodnoty a jednotky.

l = 1,20 m

Zápis říká, že měřenou veličinou je délka, její číselná hodnota je 1,20 a jednotkou je metr.

Barvu trička nebo oblíbenost písně můžeme popsat, ale v tomto smyslu nejde o fyzikální veličiny vyjádřené číselnou hodnotou a fyzikální jednotkou.

2

Základní, nebo odvozená?

Která dvojice obsahuje pouze základní veličiny soustavy SI?

Rychlost, síla a tlak lze vyjádřit pomocí jiných veličin.
Délka má základní jednotku metr a čas základní jednotku sekunda.
Řešení a vysvětlení

Správně je délka a čas.

Soustava SI používá sedm základních veličin. Patří mezi ně například délka, hmotnost, čas a termodynamická teplota.

Jiné veličiny z nich můžeme odvodit. Například rychlost:

v = s/t

Její jednotka m/s je tedy složena ze základních jednotek metru a sekundy. Rychlost je proto odvozená veličina.

Podobně je odvozenou veličinou síla nebo tlak.

Převody jednotek

3

Rychlost

Převeďte 72 km/h na m/s.

Převeďte zvlášť kilometr na metry a hodinu na sekundy.
Platí 1 km = 1000 m a 1 h = 3600 s. Při převodu z km/h na m/s tedy můžeme dělit 3,6.
Řešení a vysvětlení

Rychlost 72 km/h znamená, že by těleso při stálé rychlosti urazilo za jednu hodinu 72 km.

Převedeme kilometr na metry a hodinu na sekundy:

72 km/h = 72 · 1000 m / 3600 s

= 20 m/s

Výsledek je tedy 20 m/s.

Pomůcka: při převodu z km/h na m/s dělíme číslem 3,6. V opačném směru násobíme číslem 3,6.
4

Hustota

Převeďte 1,2 g/cm³ na kg/m³.

Musíte převést jednotku hmotnosti i jednotku objemu.
1 g = 10−3 kg, ale 1 cm³ = 10−6 m³.
Řešení a vysvětlení

U hustoty převádíme současně jednotku hmotnosti i jednotku objemu.

Pro hmotnost platí:

1 g = 10−3 kg.

U objemu musíme pamatovat, že jednotka délky je umocněna na třetí:

1 cm³ = (10−2 m)³ = 10−6 m³.

Proto:

1 g/cm³ = 10−3 kg / 10−6 m³ = 10³ kg/m³.

A tedy:

1,2 g/cm³ = 1200 kg/m³.

Pozor: častou chybou je převést pouze gramy na kilogramy. Centimetr je ale ve třetí mocnině, takže musíme umocnit na třetí i převodní faktor.
5

Obsah plochy

Převeďte 250 cm² na m².

U plošné jednotky nestačí použít převod 1 cm = 0,01 m pouze jednou.
1 cm² = (0,01 m)² = 0,0001 m².
Řešení a vysvětlení

Víme, že:

1 cm = 0,01 m.

Protože ale převádíme obsah plochy, je centimetr ve druhé mocnině:

1 cm² = (0,01 m)² = 0,0001 m².

Nyní vynásobíme 250:

250 cm² = 250 · 0,0001 m² = 0,025 m².

Pozor: 250 cm² není 2,5 m². Při převodu plochy se převodní faktor umocňuje na druhou.
6

Objem

Převeďte 2,5 l na m³.

Jeden litr je jeden decimetr krychlový.
1 dm³ = (0,1 m)³ = 0,001 m³.
Řešení a vysvětlení

Litr je jednotka objemu a platí:

1 l = 1 dm³.

Protože:

1 dm = 0,1 m,

dostáváme:

1 dm³ = (0,1 m)³ = 0,001 m³.

Pro 2,5 litru tedy:

2,5 l = 2,5 · 0,001 m³ = 0,0025 m³.

U objemových jednotek se převodní faktor umocňuje na třetí.

Měření ve fyzice

7

Přímé a nepřímé měření

Které měření je nepřímé?

Při přímém měření hledanou veličinu přímo odečítáme z měřidla.
U nepřímého měření nejprve změříme jiné veličiny a hledanou veličinu z nich vypočítáme.
Řešení a vysvětlení

Nepřímým měřením je určení rychlosti z naměřené dráhy a času.

Pravítkem přímo měříme délku, stopkami přímo měříme čas a teploměrem přímo určujeme teplotu.

Rychlost ale v uvedeném případě přímo neodečítáme z žádného měřidla. Nejprve změříme dráhu s a čas t a teprve potom vypočítáme:

v = s/t.

Jde tedy o nepřímé měření.

8

Kolik desetinných míst?

Váha zobrazuje hmotnost pouze na celé gramy. Který zápis výsledku odpovídá zobrazenému rozlišení?

Připsáním dalších číslic nezískáme přesnější měřidlo.
Pokud displej ukazuje pouze celé gramy, desetiny ani setiny gramu jsme nezměřili.
Řešení a vysvětlení

Z nabízených možností je správně 152 g.

Pokud váha zobrazuje pouze celé gramy, nemáme z jejího displeje informaci o desetinách nebo setinách gramu. Zápis 152,347 g by proto naznačoval mnohem větší rozlišení, než jaké měřidlo skutečně poskytuje.

Stejně tak zápis 152,000000 g neznamená, že jsme měřili mimořádně přesně. Pouze jsme připsali nuly, které měřidlo neurčilo.

Pozor: rozlišení displeje není totéž co celková přesnost nebo nejistota měření. Tato úloha řeší pouze to, jak jemně přístroj údaj zobrazuje.
9

Opakované měření

Pětkrát změříme délku: 29,7; 29,8; 29,8; 29,9; 29,8 cm. Určete aritmetický průměr [cm].

Aritmetický průměr získáme součtem všech měření děleným jejich počtem.
Součet pěti hodnot je 149,0 cm.
Řešení a vysvětlení

Jednotlivá měření nejsou úplně stejná. To je při reálném měření běžné.

Jako reprezentativní hodnotu série opakovaných měření můžeme použít aritmetický průměr:

průměr = (29,7 + 29,8 + 29,8 + 29,9 + 29,8) / 5

= 149,0 / 5 = 29,8 cm.

Opakovaná měření nám navíc umožňují posoudit, jak moc jednotlivé výsledky kolísají.

Fyzikální odhady

10

Odhad není tip

Který postup nejlépe odpovídá fyzikálnímu odhadu objemu vzduchu v učebně?

Fyzikální odhad není náhodný tip. Měl by mít zdůvodnitelný postup.
Složitý reálný objekt často nahradíme jednoduchým fyzikálním nebo geometrickým modelem.
Řešení a vysvětlení

Správný je postup, při kterém odhadneme rozměry učebny a nahradíme ji kvádrem.

Fyzikální odhad není náhodný tip. Snažíme se složitější situaci zjednodušit tak, abychom mohli získat alespoň přibližnou hodnotu nebo správný řád velikosti.

Například pro učebnu můžeme odhadnout:

8 m × 6 m × 3 m.

Nemusíme přesně měřit každý výklenek, skříň nebo nerovnost. Pro odhad objemu vzduchu je model kvádru dostatečný.

Výsledek odhadu není vhodné zapisovat s mnoha desetinnými místy. To by vytvářelo dojem přesnosti, kterou vstupní odhadované hodnoty nemají.
11

Kolik vzduchu je v učebně?

Učebnu odhadneme jako kvádr 8 m × 6 m × 3 m. Kolik litrů vzduchu přibližně obsahuje?

Nejprve určete objem učebny v metrech krychlových.
8 × 6 × 3 = 144 m³ a 1 m³ = 1000 l.
Řešení a vysvětlení

Učebnu jsme zjednodušili na kvádr. Jeho objem vypočítáme:

V = 8 · 6 · 3 = 144 m³.

Jeden metr krychlový obsahuje 1000 litrů:

144 m³ = 144 · 1000 l = 144 000 l.

Protože rozměry učebny byly pouze odhadnuté, můžeme výsledek rozumně zaokrouhlit například na:

přibližně 1,5 · 105 l.

Smyslem odhadu není získat mnoho přesných číslic, ale rozumnou velikost výsledku.

Tabulky a grafy

12

Záhlaví tabulky

Měříme teplotu v závislosti na čase. Které záhlaví tabulky je nejvhodnější?

Z tabulky by mělo být jasné, co měříme a v jakých jednotkách.
Vhodné záhlaví obsahuje název veličiny, její značku a jednotku.
Řešení a vysvětlení

Nejvhodnější je:

Čas t [s] | Teplota T [°C]

Čtenář z takového záhlaví okamžitě pozná, jakou veličinu sloupec obsahuje, jakou značku pro ni používáme a v jaké jednotce jsou hodnoty uvedeny.

Jednotku pak nemusíme psát ke každému jednotlivému číslu.

Samotné označení „s“ nebo „°C“ nestačí, protože jde pouze o jednotky a není přímo uvedeno, kterou veličinu sloupec představuje.
13

Interpolace

Teplotu jsme změřili v časech 90 s a 120 s. Z grafu odhadneme hodnotu pro 105 s. Jak tento postup nazýváme?

Čas 105 s leží mezi dvěma naměřenými hodnotami.
Odhadujeme hodnotu uvnitř rozsahu naměřených dat, nikoli za jeho hranicí.
Řešení a vysvětlení

Jde o interpolaci.

Naměřené hodnoty máme pro 90 s a 120 s. Čas 105 s leží mezi nimi:

90 s < 105 s < 120 s.

Pokud z průběhu grafu odhadujeme hodnotu mezi naměřenými body, provádíme interpolaci.

Kdybychom například z těchto dat odhadovali hodnotu pro čas 200 s, dostali bychom se mimo rozsah měření. Takový postup se nazývá extrapolace a bývá obecně méně spolehlivý.

14

Musí osa začínat nulou?

Které tvrzení o měřítku fyzikálního grafu je správné?

Začátek osy v nule není univerzální podmínkou správného fyzikálního grafu.
Důležité je jasné, pravidelné a nezavádějící měřítko.
Řešení a vysvětlení

Správně je možnost: osa nemusí vždy začínat nulou, ale měřítko musí být čitelné a nezavádějící.

Představme si například měření teploty v rozsahu od 19,8 °C do 20,4 °C. Pokud by svislá osa začínala v 0 °C, malé změny teploty by byly v grafu téměř neviditelné.

Je proto možné zobrazit například jen interval od 19,5 °C do 20,5 °C.

Musí však být zřetelně označeno, jaký rozsah osa používá. Zkrácená osa může totiž při nevhodném použití opticky zveličovat malé rozdíly.

Na jedné lineární ose musí stejné vzdálenosti odpovídat stejným změnám zobrazované veličiny.

Grafy, funkce a fitování

15

Přímka versus přímá úměrnost

Naměřená data dobře popisuje vztah y = 2,0x + 3,0. Jde o přímou úměrnost?

Přímá úměrnost je pouze zvláštním případem lineární funkce.
Pro přímou úměrnost musí platit y = ax, tedy absolutní člen musí být nulový.
Řešení a vysvětlení

Vztah

y = 2,0x + 3,0

skutečně popisuje přímku. Každá přímka ale ještě neznamená přímou úměrnost.

Přímá úměrnost musí mít tvar:

y = ax.

Pokud tedy x = 0, musí být také y = 0. Graf přímé úměrnosti proto prochází počátkem souřadnic.

V našem vztahu ale:

x = 0  ⇒  y = 3,0.

Jde tedy o lineární závislost, ale nikoli o přímou úměrnost.

Častou chybou je považovat každou přímku za graf přímé úměrnosti. Přímá úměrnost musí procházet počátkem.
16

Co dělá fit?

Které tvrzení o fitování naměřených dat je správné?

Experimentální body obvykle neleží přesně na ideální křivce.
U lineárního fitu například hledáme parametry a a b ve vztahu y = ax + b.
Řešení a vysvětlení

Fitování znamená, že zvolíme určitý matematický model a hledáme jeho parametry tak, aby model naměřená data co nejlépe popisoval.

Například u lineární závislosti používáme model:

y = ax + b.

Fitování potom hledá vhodné hodnoty parametrů a a b.

Experimentální body zpravidla neleží přesně na jedné přímce, protože každé reálné měření obsahuje určité odchylky. Fit proto nemusí procházet každým bodem.

Také není správné automaticky volit co nejsložitější funkci. Vhodný model by měl odpovídat fyzikálnímu ději, který zkoumáme.

Cílem fitu není nakreslit co nejsložitější křivku, která projde všemi body, ale nalézt jednoduchý a fyzikálně smysluplný model popisující trend v datech.
17

Reziduum

Model předpovídá pro určitý bod ŷ = 5,2 m, zatímco naměřeno bylo y = 5,5 m. Určete reziduum e = y − ŷ [m].

Reziduum vyjadřuje rozdíl mezi naměřenou hodnotou a hodnotou předpovězenou modelem.
Dosazujeme 5,5 − 5,2.
Řešení a vysvětlení

Reziduum je rozdíl mezi naměřenou hodnotou a hodnotou, kterou předpovídá fitovaný model:

e = y − ŷ.

Dosadíme:

e = 5,5 m − 5,2 m = +0,3 m.

Kladné reziduum znamená, že naměřený bod leží nad hodnotou předpovězenou modelem.

Kdyby vyšlo reziduum záporné, naměřená hodnota by byla menší než hodnota modelu.

Při dobrém modelu očekáváme, že rezidua nebudou vykazovat výrazný systematický trend a budou rozložena kolem nuly.

Absolutní a relativní odchylka

18

Interval výsledku

Výsledek je t = (12,4 ± 0,3) s. Jaká je dolní mez intervalu [s]?

Zápis ± 0,3 s vymezuje interval kolem hodnoty 12,4 s.
Dolní mez získáme odečtením: 12,4 − 0,3.
Řešení a vysvětlení

Zápis:

t = (12,4 ± 0,3) s

znamená, že k hodnotě 12,4 s připojujeme absolutní odchylku 0,3 s.

Dolní mez intervalu získáme odečtením:

12,4 − 0,3 = 12,1 s.

Horní mez bychom naopak získali přičtením:

12,4 + 0,3 = 12,7 s.

Výsledek tedy odpovídá intervalu:

12,1 s až 12,7 s.

19

Relativní odchylka

Naměřili jsme m = (8,0 ± 0,1) kg. Určete relativní odchylku v procentech.

Relativní odchylka porovnává absolutní odchylku s velikostí samotné měřené hodnoty.
Vypočítejte 0,1 / 8,0 a výsledek vynásobte 100 %.
Řešení a vysvětlení

Absolutní odchylka je v tomto případě:

Δm = 0,1 kg.

Relativní odchylku získáme jako poměr absolutní odchylky a naměřené hodnoty:

δm = Δm / m.

Dosadíme:

δm = 0,1 / 8,0 = 0,0125.

V procentech:

0,0125 · 100 % = 1,25 %.

Relativní odchylka tedy říká, že absolutní odchylka odpovídá 1,25 % měřené hodnoty.

20

Které měření je relativně přesnější?

Porovnejte:

m1 = (80,0 ± 0,1) kg

m2 = (8,0 ± 0,1) kg.

Které měření má menší relativní odchylku?

Stejná absolutní odchylka neznamená stejnou relativní odchylku.
Porovnejte poměry 0,1 / 80,0 a 0,1 / 8,0.
Řešení a vysvětlení

Obě měření mají stejnou absolutní odchylku:

Δm = 0,1 kg.

Vzhledem k velikosti měřené hodnoty ale tato odchylka nepředstavuje stejný podíl.

Pro první měření:

δ1 = 0,1 / 80,0 · 100 % = 0,125 %.

Pro druhé měření:

δ2 = 0,1 / 8,0 · 100 % = 1,25 %.

První měření má tedy desetkrát menší relativní odchylku.

Právě v tom je výhoda relativní odchylky: umožňuje porovnávat kvalitu měření veličin různých velikostí.

Absolutní odchylka 0,1 kg je například velmi malá vzhledem k 80 kg, ale podstatně významnější vzhledem k 8 kg.
Hotovo? Pokud máte všechny úlohy správně, vraťte se hlavně k těm, u kterých jste potřebovali nápovědu. Zkuste nyní vysvětlit postup vlastními slovy bez otevření řešení.