Pascalův zákon

Představte si Londýn na konci 19. století. V hotelu se rozjede výtah, v docích se zvedne těžký jeřáb, v divadle se otočí jeviště a v bance se zavřou masivní dveře trezoru. Tato zařízení nejsou poháněna elektřinou a každé z nich nemá ani vlastní parní stroj. Energii k nim přivádí téměř neviditelná síť potrubí ukrytá pod ulicemi. V době největšího rozmachu měřila téměř 300 kilometrů. Potrubím přitom neproudila pára ani stlačený vzduch, ale obyčejná voda. Na podobném principu pracovaly také původní stroje Tower Bridge, které dokázaly během jediné minuty zvednout dvě mohutná mostní křídla a uvolnit cestu lodím.

Otevírání Tower Bridge. Původní mechanismus využíval tlakovou vodu; dnešní systém je stále hydraulický, ale pracuje s olejem a elektrickým pohonem.
Otázka na úvod: Jak mohla voda v poměrně tenkém potrubí ovládat zařízení o hmotnosti mnoha tun? Co se potrubím přenášelo od čerpací stanice ke stroji — pohyb, síla, tlak, nebo energie?

Nejdříve tlak

Účinek síly nezávisí jen na její velikosti, ale také na ploše, na kterou působí. Tlak definujeme jako podíl velikosti kolmé tlakové síly F a obsahu plochy S:

p = FSJednotkou tlaku je pascal: 1 Pa = 1 N·m−2.

Stejná síla, menší plocha

Tlak je větší. Proto ostrá jehla snadno pronikne kůží a lyže se zaříznou do sněhu méně než boty.

Stejná síla, větší plocha

Tlak je menší. Proto mají pásová vozidla široké pásy a základy budov velkou plochu.

Kalkulátor tlaku

Pokus se dvěma stříkačkami

Propojte dvě injekční stříkačky hadičkou, soustavu zcela naplňte vodou a odstraňte vzduchové bubliny. Zatlačíte-li na jeden píst, druhý se vysune. Použijete-li stříkačky s různými průřezy, ucítíte rozdíl mezi silou a dráhou.

F₁F₂S₁S₂uzavřená kapalina
Na co si dát při pokusu pozor?
  • Vzduch je výrazně stlačitelnější než voda; bubliny způsobí „pružný“ chod a zhorší přenos.
  • Nepřekračujte tlak, který snese hadička a její spoje.
  • Tření pístů způsobí, že reálné poměry sil nebudou přesně odpovídat poměru ploch.

Pascalův zákon

Změna tlaku vyvolaná v uzavřené tekutině se přenáší beze změny do všech míst tekutiny a na stěny nádoby.

Zákon platí pro kapaliny i plyny v klidu. V hydraulických zařízeních používáme kapalinu, protože je ve srovnání s plynem velmi málo stlačitelná. Formulace neříká, že je v celé kapalině vždy stejný celkový tlak: v gravitačním poli se tlak mění s hloubkou. Stejně se však přenese přírůstek tlaku způsobený vnějším působením.

Co přesně se přenáší: síla, nebo tlak?

Zatlačíme-li na první píst, zvětšíme v kapalině tlak o určitou hodnotu Δp. Právě tento přírůstek tlaku se přenese ke druhému pístu. Síly na pístech však stejné být nemusí. Pro každý píst platí F = Δp · S: stejný přírůstek tlaku působící na větší plochu proto vyvolá větší sílu. Hydraulické zařízení tedy nepřenáší beze změny sílu, ale tlak.

Rozuzlení londýnské záhady

Čerpací stanice dodávaly vodě energii a udržovaly ji pod tlakem přibližně 5 MPa. Tlaková voda byla potrubím přivedena ke stroji, kde působila na píst nebo roztáčela hydraulický motor. Protože na větší plochu pístu působila větší síla, mohlo zařízení zvednout výtah, pohybovat jeřábem nebo otáčet jevištěm.

Odpověď na úvodní otázku tedy není jen jediným slovem. Potrubím proudila voda a přenášela se jím také energie dodaná čerpadly. Pro samotné působení uzavřené kapaliny je však rozhodující, že se změna tlaku přenese až k pracovnímu pístu. Na jeho velké ploše pak vznikne velká síla.

Tower Bridge nebyl napojen na londýnskou městskou síť, ale měl vlastní hydraulický systém. Parní stroje poháněly čerpadla, tlaková voda se ukládala v hydraulických akumulátorech a podle potřeby poháněla mechanismus mostu. Dnes čerpadla pohání elektřina a místo vody se používá olej, základní hydraulický princip však zůstal zachován.

Hydraulický zvedák

Představte si, že potřebujeme vyměnit pneumatiku automobilu. Automobil je příliš těžký na to, abychom jej zvedli vlastní silou, přesto to dokáže poměrně malý hydraulický zvedák ovládaný rukou. Uvnitř zvedáku je kapalina uzavřená mezi dvěma písty různých obsahů. Silou působíme na malý píst, zatímco velký píst nadzvedává automobil. Jak velkou sílu může zvedák vyvinout a čím za ni „zaplatíme“?

Krátká animace ukazuje vnitřní mechanismus hydraulického zvedáku. Pro pochopení stačí sledovat pohyb malého a velkého pístu.

Na oba písty působí stejný přírůstek tlaku. Pro ideální zařízení proto platí

F1S1 = F2S2,   tedy   F2F1 = S2S1.

Je-li obsah velkého pístu dvacetkrát větší než obsah malého, bude ideální výstupní síla dvacetkrát větší. Zvedák však sílu nevytváří zadarmo. Označme s1 dráhu, o kterou se posune malý píst, a s2 dráhu velkého pístu. Protože kapalina je téměř nestlačitelná, objem vytlačený malým pístem musí být stejný jako objem, který uvolní pohyb velkého pístu:

S1s1 = S2s2.

Je-li tedy velký píst dvacetkrát větší, urazí dvacetkrát menší dráhu. Aby se automobil zvedl například o 1 cm, musí se malý píst celkově posunout o 20 cm. U skutečného zvedáku toho dosáhneme několika pohyby páky.

Hydraulika vyměňuje dráhu za sílu. V ideálním případě F1s1 = F2s2; energie se nevytváří.

Dokáže zvedák nadzvednout automobil?

Uvažujme zvedák, jehož malý píst stlačujeme silou 150 N. Zadané obsahy pístů a dráha malého pístu odpovídají jednomu zjednodušenému pracovnímu kroku. Vypočítejte sílu na velkém pístu a výšku, o kterou se při tomto kroku zvedne.

Kde se Pascalův zákon používá?

Hydraulický zvedák a lisMalý píst ovládá velký píst, který zvedá automobil nebo působí velkou lisovací silou.
Hydraulické brzdyTlak vytvořený hlavním válcem se brzdovou kapalinou přenese k pracovním válcům u kol.
Stavební strojeHydraulické válce pohybují ramenem bagru, lopatou nakladače nebo jeřábem.
Zubařské křesloHydraulický systém plynule zvedá pacienta a udrží nastavenou polohu.
Letecká technikaHydraulika ovládá podvozek, brzdy a u řady letadel také řídicí plochy.
MedicínaStříkačka převádí sílu na pístu na tlak kapaliny; přesný přenos ale ovlivňuje pružnost hadiček a tření.

Hydraulika v automobilu

Nejpřímějším příkladem jsou provozní brzdy. Sešlápnutí pedálu vytvoří tlak v hlavním brzdovém válci a brzdová kapalina jej přenese k brzdám jednotlivých kol. U řady starších automobilů pracuje na hydraulickém principu také posilovač řízení. Moderní vozy často používají posilovač elektrický, ale rozdíl lze dobře pocítit při bezpečném vyzkoušení staršího automobilu, který byl již z výroby navržen bez posilovače: zejména při malé rychlosti musí řidič působit na volant mnohem větší silou.

Historická zajímavost: Pascal a tlak

Blaise Pascal (1623–1662) se zabýval matematikou, fyzikou, filosofií i konstrukcí počítacích strojů. Ve spise o rovnováze kapalin popsal princip přenosu tlaku, který byl vydán až roku 1663, krátce po jeho smrti. Na jeho počest dnes jednotku tlaku nazýváme pascal.

S Pascalem se často spojuje působivý příběh o sudu naplněném vodou, který měl prasknout po dolití malého množství vody do dlouhé úzké trubice. Pokus správně ilustruje velký tlak vyvolaný vysokým sloupcem kapaliny, v dochovaných Pascalových pracích však popsán není. Je proto poctivější uvádět jej jako později tradovaný Pascalův sud, nikoli jako jistě doloženou událost.

Další zajímavosti o Pascalovi
  • Jako mladík významně přispěl k projektivní geometrii.
  • Pro svého otce zkonstruoval mechanickou kalkulačku známou jako Pascalina.
  • S Pierrem de Fermatem položil základy teorie pravděpodobnosti.
  • Podílel se na pokusech ukazujících, že atmosférický tlak s nadmořskou výškou klesá.

Procvičení

1. Co se v kapalině přenáší?

2. Plocha velkého pístu je desetkrát větší. Co platí ideálně?

3. Proč je vzduch v brzdovém systému problém?

Časté omyly

  • „Pascalův zákon říká, že se všude přenese stejná síla.“ Přenáší se změna tlaku; síla závisí na ploše.
  • „V hydraulice je tlak v každém místě vždy stejný.“ Stejně se přenese přírůstek tlaku. Celkový tlak se může měnit například s hloubkou.
  • „Hydraulický lis vyrábí energii.“ Větší síla působí na kratší dráze; reálné zařízení má navíc ztráty.
  • „Čím větší píst, tím větší tlak.“ Při stejném přeneseném tlaku vznikne na větším pístu větší síla.
  • „Pascalův zákon platí jen pro kapaliny.“ Platí pro uzavřené tekutiny v klidu, tedy i pro plyny; jejich stlačitelnost však mění praktické chování.
  • „Olej v hydraulice musí být dokonale nestlačitelný.“ Reálné kapaliny jsou mírně stlačitelné; jde o velmi dobrou aproximaci.

Česko-anglický slovníček

tlak
pressure
tlaková síla
pressure force
plocha
area
píst
piston
válec
cylinder
uzavřená tekutina
confined fluid
přírůstek tlaku
pressure increase
Pascalův zákon
Pascal’s law
hydraulika
hydraulics
hydraulický lis
hydraulic press
hydraulický zvedák
hydraulic jack
hydraulické brzdy
hydraulic brakes
brzdová kapalina
brake fluid
stlačitelnost
compressibility
mechanická práce
mechanical work
tlaková ztráta
pressure loss