Poloha, trajektorie, dráha
Jak daleko jsou od sebe evropská města?
Když chceme zjistit, jak daleko jsou od sebe dvě města, můžeme dostat dvě velmi odlišné odpovědi. Vyzkoušejte si to nejprve sami.
1 Nejprve odhadněte
Pracujte ve dvojicích. Bez použití mapy odhadněte, jaká je vzdušná vzdálenost mezi následujícími městy. Odhady si zapište.
| Dvojice měst | Odhad vzdušnou čarou | Vzdušnou čarou | Autem |
|---|---|---|---|
| České Budějovice – Praha | ........ km | ........ km | ........ km |
| České Budějovice – Vídeň | ........ km | ........ km | ........ km |
| Praha – Berlín | ........ km | ........ km | ........ km |
| Praha – Paříž | ........ km | ........ km | ........ km |
|
Vlastní dvojice: ........................ – ........................ |
........ km | ........ km | ........ km |
2 Změřte vzdálenost vzdušnou čarou
Otevřete mapovou aplikaci, například Google Maps, a změřte přímou vzdálenost mezi středy obou měst. Výsledek zapište do třetího sloupce.
V Google Maps na počítači lze kliknout pravým tlačítkem na výchozí místo, zvolit „Změřit vzdálenost“ a poté kliknout na cílové místo.
3 Zjistěte vzdálenost autem
Nyní mezi stejnými městy vyhledejte trasu autem. Zvolte jednu z nabízených tras a její délku zapište do posledního sloupce.
4 Porovnejte
- U které dvojice měst se obě hodnoty liší nejméně?
- U které se liší nejvíce?
- Proč není cesta autem přímá?
- Co všechno může ovlivnit její tvar?
Výzva
Najděte v Evropě dvojici měst, u které bude rozdíl mezi vzdáleností vzdušnou čarou a autem co největší.
Svůj příklad ukažte ostatním a pokuste se vysvětlit, proč je cesta autem o tolik delší.
Nápověda k výzvě
Hledejte místa, mezi kterými automobil nemůže jet přímo. Pomoci vám mohou například moře, zálivy, velká jezera, pohoří nebo nutnost jet k mostu či tunelu.
Neexistuje jen jedna správná dvojice měst. Důležité je svůj výsledek vysvětlit.
Co jsme vlastně měřili?
Při měření vzdušnou čarou nás zajímalo, jak daleko jsou od sebe počáteční a koncový bod. Neřešili jsme, kudy bychom se mezi nimi skutečně pohybovali.
Při cestě autem je situace jiná. Automobil se pohybuje po konkrétní cestě. Ta zatáčí, obchází překážky a vede po silnicích, mostech nebo tunelech.
První nazýváme trajektorie, druhou dráha.
Nejprve ale začneme tím nejjednodušším: co se při pohybu vlastně mění?
Poloha a změna polohy
V minulé kapitole jsme se naučili určit polohu hmotného bodu pomocí souřadnic a polohového vektoru.
Jestliže se hmotný bod pohybuje, jeho poloha se vzhledem ke zvolené vztažné soustavě mění. S časem se tedy mění také jeho souřadnice.
Představme si, že polohu pohybujícího se bodu zaznamenáme v mnoha okamžicích. Postupně získáme body, kterými při svém pohybu prošel.
Myšlená čára procházející těmito polohami se nazývá trajektorie.
Trajektorie
Slovo myšlená je důležité. Za pohybujícím se tělesem většinou žádná skutečná čára nezůstává. Trajektorii si představujeme nebo ji zakreslujeme.
Někdy ji ale pohybující se těleso může zviditelnit. Například:
- lyžař zanechá stopu ve sněhu,
- hrot tužky zanechá čáru na papíře,
- za letadlem může vzniknout kondenzační čára.
Podle tvaru trajektorie
Trajektorií je přímka nebo její část.
Trajektorií je křivka – například kružnice, elipsa nebo jiná rovinná či prostorová křivka.
Dráha
Trajektorie nám říká, kudy se těleso pohybovalo. Často ale potřebujeme vědět také, jak dlouhou část této trajektorie skutečně urazilo.
značka: s
jednotka: [m]
Dráha je skalární fyzikální veličina. Udává délku uražené cesty, nikoli směr pohybu.
Dráha není vždy vzdálenost bodů A a B
Pokud se těleso pohybuje přímo z bodu A do bodu B a cestou nemění směr, je dráha rovna vzdálenosti těchto bodů.
Při pohybu po zakřivené trajektorii je ale dráha větší než přímá vzdálenost počátečního a koncového bodu.
Stejné body A a B, jiná dráha
Změňte trajektorii. Počáteční a koncový bod zůstanou stejné.
Turista ujde 2 km a stejnou cestou se vrátí. Jakou urazil dráhu?
Ušel 2 km tam a 2 km zpět:
Přestože skončil ve stejném bodě, ze kterého vyšel, uražená dráha není nulová.
Záleží trajektorie na vztažné soustavě?
V minulé kapitole jsme zjistili, že klid i pohyb vždy popisujeme vzhledem ke zvolené vztažné soustavě.
Totéž platí také pro tvar trajektorie.
Míček puštěný z jedoucího vozíku
Vozík jede rovnoměrně doprava. Člověk stojící na vozíku drží míček a v určitém okamžiku jej pustí.
Nejprve vyberte pozorovatele a potom stiskněte Pustit míček.
Pozorovatel se pohybuje společně s vozíkem. V jeho vztažné soustavě je proto vozík v klidu. Míček má před puštěním vůči vozíku nulovou vodorovnou rychlost, a proto po puštění padá svisle dolů. Jeho trajektorie je přímka.
Pozorovatel stojí u silnice. Vidí vozík pohybovat se doprava. Míček si po puštění zachovává vodorovnou složku rychlosti a současně působením gravitace padá dolů. Jeho trajektorie je proto zakřivená.
Uvažujeme rovnoměrný pohyb vozíku po přímce a zanedbáváme odpor vzduchu.
Bod na obvodu kola
Ještě výrazněji se závislost trajektorie na vztažné soustavě projeví u valícího se kola.
Představme si barevnou značku na obvodu pneumatiky. Jakou trajektorii opisuje?
Vztažná soustava spojená se středem kola: sledovaný bod opisuje kružnici.
Vzhledem k vozovce opisuje při valení bez prokluzování křivku nazývanou cykloida.
Dráha jako funkce času
S postupujícím časem těleso uráží další část trajektorie. Dráha tedy závisí na čase:
Tuto závislost můžeme zobrazit grafem. Na vodorovnou osu zapisujeme čas t [s] a na svislou osu dráhu s [m].
Může mít pohyb po kružnici přímkový graf s(t)?
Ano. Následující animace ukazuje bod, který se pohybuje po kružnici stále stejnou rychlostí.
Vlevo sledujte tvar trajektorie. Vpravo se současně vykresluje graf uražené dráhy.
Bod zatím stojí na začátku trajektorie. Spusťte animaci.
Graf s(t): přímka.
Není v tom rozpor. Trajektorie ukazuje, kudy se těleso pohybuje, zatímco graf s(t) ukazuje, jak se s časem mění uražená dráha.
Proč je graf s(t) přímka, když se bod pohybuje po kružnici?
Bod urazí za stejné časové intervaly stejně dlouhé části kružnice. Dráha proto roste s časem rovnoměrně.
Graf s(t) je tedy přímka, přestože trajektorie samotného tělesa je kružnice.
Trajektorie, dráha a graf dráhy
| Pojem | Co popisuje? | Příklad |
|---|---|---|
| trajektorie | Čáru, kterou hmotný bod při pohybu opisuje. | Kružnice. |
| dráha s | Délku uražené části trajektorie. | Například 12 m. |
| graf s(t) | Jak se uražená dráha mění s časem. | Při rovnoměrném pohybu přímka. |
Co si z kapitoly odnést
- Při pohybu se poloha hmotného bodu mění s časem.
- Trajektorie je myšlená geometrická čára, kterou hmotný bod při pohybu opisuje.
- Podle tvaru trajektorie rozlišujeme přímočarý a křivočarý pohyb.
- Dráha s je délka trajektorie, kterou těleso za určitou dobu urazí.
- Jednotkou dráhy je [m].
- Tvar trajektorie může záviset na volbě vztažné soustavy.
- Dráha je funkcí času: s = s(t).
- Graf s(t) není trajektorie.
Časté omyly
- „Trajektorie je čára, která za tělesem skutečně zůstává.“ Většinou ne. Trajektorie je myšlená geometrická čára. Někdy ji ale může zviditelnit například stopa ve sněhu.
- „Dráha je vzdálenost počátečního a koncového bodu.“ Pouze v některých jednoduchých případech. Dráha je délka skutečně uražené trajektorie.
- „Když se těleso vrátí do výchozího bodu, jeho dráha je nula.“ Ne. Dráha je délka celé uražené cesty.
- „Každé těleso má jednu jedinou trajektorii.“ Ne. Tvar trajektorie může záviset na zvolené vztažné soustavě.
- „Křivočarý pohyb musí mít křivý graf s(t).“ Nemusí. Při rovnoměrném pohybu po kružnici může být graf s(t) přímka.
- „Graf s(t) ukazuje tvar trajektorie.“ Ne. Ukazuje, jak se s časem mění uražená dráha.
Otázky na závěr
1. Jaký je rozdíl mezi trajektorií a dráhou?
Trajektorie je geometrická čára, kterou hmotný bod při pohybu opisuje. Dráha je délka uražené části této trajektorie.
2. Je stopa lyžaře ve sněhu trajektorií?
Stopa trajektorii přibližně zviditelňuje. Trajektorie samotná je myšlená geometrická čára popisující pohyb zvoleného bodu lyžaře.
3. Bod na obvodu kola opisuje kružnici, nebo cykloidu?
Obě odpovědi mohou být správně. Vzhledem ke středu kola opisuje kružnici. Vzhledem k vozovce při valení bez prokluzování opisuje cykloidu.
4. Turista ujde 2 km a stejnou cestou se vrátí. Jakou urazil dráhu?
To, že skončil ve výchozím bodě, neznamená, že jeho dráha byla nulová.
5. Může být graf dráhy v závislosti na čase přímka, i když se těleso pohybuje po kružnici?
Ano. Při rovnoměrném pohybu urazí těleso za stejné časové intervaly stejné dráhy. Dráha proto roste rovnoměrně s časem a graf s(t) je přímka.
6. Proč může mít jeden míček dvě různé trajektorie?
Protože trajektorii popisujeme vzhledem ke zvolené vztažné soustavě.
Pro pozorovatele jedoucího s vozíkem padá míček svisle. Pro pozorovatele stojícího na zemi se míček současně pohybuje dopředu a dolů, a proto opisuje zakřivenou trajektorii.
Slovníček
Zdroje
[1] Scientix: As the Crow Flies – Measuring Distance. Výuková aktivita zaměřená na porovnávání přímé a skutečně absolvované vzdálenosti mezi místy. PDF
[2] Google Maps Help: nástroje pro měření vzdálenosti a plánování trasy. Google Maps Help