Potenciální energie v elektrickém poli

Blesk udeří několik metrů od vás. Nezasáhl vás, a přesto ještě nemusí být po nebezpečí. Elektrický proud se po úderu nerozplyne v jediném bodě, ale rozbíhá se od místa zásahu okolní půdou. Člověk stojící opodál se tak může stát součástí jeho cesty, přestože se blesku ani zasaženého předmětu vůbec nedotkl.

O tom, jak velké bude nebezpečí, překvapivě rozhoduje i docela obyčejná věc: jak daleko od sebe máme chodidla. Dlouhý krok může být nebezpečnější než několik drobných krůčků s nohama těsně u sebe. Podobně jsou ohrožena i velká zvířata, například krávy nebo koně, jejichž končetiny se dotýkají země ve značné vzdálenosti od sebe.

Krátká bezpečnostní ukázka krokového a dotykového napětí. Při sledování si všimněte, jak se mění ohrožení člověka podle polohy jeho nohou.

Otázka na úvod: Proč je v blízkosti místa zásahu bezpečnější držet nohy u sebe než udělat dlouhý krok?
Zobrazit odpověď

Po zásahu se elektrický proud šíří půdou do okolí. Čím jsou chodidla dále od sebe, tím snáze může proud vstoupit jednou nohou do těla a druhou je opustit. Proto se z blízkosti místa zásahu neodchází dlouhými kroky, ale drobnými krůčky s chodidly co nejblíže u sebe. Proč právě vzdálenost mezi chodidly rozhoduje, vysvětlíme pomocí elektrického potenciálu.

Od práce k potenciální energii

V gravitačním poli má těleso potenciální energii podle své polohy. Stejnou myšlenku lze použít i v elektrostatickém poli: energie soustavy závisí na vzájemné poloze nabitých těles.

Přemístí-li elektrická síla bodový náboj q z bodu A do bodu B, práce elektrické síly se rovná úbytku elektrické potenciální energie:

WAB = EpA − EpB = −ΔEp

Elektrická síla koná kladnou práci

Potenciální energie soustavy klesá.

We > 0 ⇒ ΔEp < 0

Náboj přenášíme proti elektrické síle

Práci koná vnější síla a potenciální energie soustavy roste.

Wvnější > 0 ⇒ ΔEp > 0
Elektrická potenciální energie je energie soustavy nabitých těles daná jejich vzájemnou polohou. Její jednotkou je joule (J).
Poznámka pro učitele: komu energie patří?

Přesnější je mluvit o energii soustavy nábojů, nikoli o energii osamoceného náboje. Ve školním modelu „náboj v poli“ obvykle sledujeme malý zkušební náboj a zdroj pole považujeme za neměnný.

Kde je potenciální energie nulová?

Samotná hodnota potenciální energie závisí na tom, kde si zvolíme její nulu. Fyzikální význam mají především rozdíly energie.

  • V gravitačním poli Země často volíme nulu na podlaze, na hladině moře nebo v jiném vhodném místě.
  • V elektrických obvodech bývá za nulový potenciál zvolena zem nebo uzemněná část zařízení.
  • U osamoceného bodového náboje volíme nulový potenciál v nekonečně velké vzdálenosti.
Změníme-li referenční hladinu, změní se číselné hodnoty Ep a φ, ale nezmění se rozdíly energie, napětí ani pohyb náboje.

Elektrický potenciál

Stejné místo v elektrickém poli může různým nábojům odpovídat různá potenciální energie. Chceme-li popsat samotné pole, vydělíme potenciální energii velikostí zkušebního náboje:

φ = Epq
Elektrický potenciál φ v daném bodě je elektrická potenciální energie připadající na jednotkový kladný náboj. Je to skalární veličina a jeho jednotkou je volt: 1 V = 1 J/C.

Z definice okamžitě dostaneme:

Ep = qφ

Potenciál φ popisuje místo v poli. Potenciální energie Ep navíc závisí na vloženém náboji q.

VeličinaCo popisujeZávisí na zkušebním náboji?Jednotka
potenciální energie Epenergii soustavyanoJ
potenciál φdané místo elektrického poleneV = J/C
napětí UABrozdíl potenciálů dvou místneV

Napětí je rozdíl potenciálů

Z předchozí kapitoly známe vztah WAB = qUAB. Spolu se vztahem pro úbytek potenciální energie dostaneme:

qUAB = EpA − EpB UAB = φA − φB
Napětí mezi body A a B je rozdíl jejich elektrických potenciálů. Zápis UAB znamená „potenciál bodu A minus potenciál bodu B“.
Co se stane s energií kladného a záporného náboje?
  • Kladný náboj se při samovolném pohybu ve směru elektrického pole přesouvá k nižšímu potenciálu a jeho potenciální energie klesá.
  • Záporný náboj se samovolně pohybuje proti směru elektrického pole, tedy k vyššímu potenciálu. Protože q < 0, jeho potenciální energie Ep = qφ přitom také klesá.

Částice se samovolně nepohybuje vždy k nižšímu potenciálu; vždy se však pohybuje tak, aby klesala potenciální energie soustavy.

Návrat ke krokovému napětí

Teď už můžeme vysvětlit situaci z úvodu přesněji. Proud se od místa zásahu rozbíhá zemí, a proto nemají všechna místa na jejím povrchu stejný potenciál. Stojí-li každé chodidlo v místě s jiným potenciálem, vzniká mezi nimi napětí. Označujeme je jako krokové napětí.

Krokové napětí v okolí místa zásahu blesku Proud se od místa zásahu rozbíhá zemí. Chodidla člověka jsou v místech s různými potenciály, a proto je mezi nimi napětí. místo zásahu proud v zemi φ₁φ₂ U = φ₁ − φ₂
Potenciál zemského povrchu v okolí zásahu není všude stejný. Jsou-li chodidla na místech s různým potenciálem, vzniká mezi nimi krokové napětí.

Větší vzdálenost mezi chodidly obvykle znamená větší rozdíl potenciálů, a tedy i větší krokové napětí. Proto jsou bezpečnější drobné krůčky s nohama těsně u sebe než dlouhé kroky.

Experiment: Krokáček

Lze krokové napětí ukázat bezpečně přímo ve třídě? Místo skutečné půdy použijeme vlhký slaný písek a člověka zastoupí jednoduchá drátěná postavička s LED. Její dvě nohy fungují jako dva kontakty se zemí.

Pomůcky

  • mělká plastová nádoba, písek, voda a trochu kuchyňské soli,
  • dvě kovové elektrody, vodiče a bezpečný stejnosměrný zdroj nízkého napětí (např. několik baterií),
  • „krokáček“ z izolovaného drátu se dvěma odizolovanými nohami, LED a ochranným rezistorem.

Co předpovídáte?

Kdy bude LED svítit nejvýrazněji?

  1. Když má krokáček nohy těsně u sebe.
  2. Když je široce rozkročený ve směru mezi elektrodami.
  3. Když je stejně rozkročený, ale otočený o 90°.
  1. Nasypte do nádoby písek, navlhčete jej slanou vodou a na protilehlé strany vložte elektrody.
  2. Elektrody připojte k bezpečnému nízkonapěťovému zdroji. V písku tak vznikne elektrické pole.
  3. Zasuňte do písku nohy krokáčku nejprve těsně vedle sebe a sledujte LED.
  4. Postavičku postupně rozkročujte ve směru od jedné elektrody ke druhé. Potom ji při stejném rozkročení otočte o 90°.
  5. Vyzkoušejte také různá místa v nádobě. Je výsledek všude stejný?
Vysvětlení pozorování

Jsou-li nohy blízko u sebe, dotýkají se míst s téměř stejným potenciálem. Napětí mezi nimi je malé a LED zpravidla nesvítí. Při větším rozkročení ve směru elektrického pole stojí každá noha v místě s jiným potenciálem. Napětí se zvětší, krokáčkem začne procházet větší proud a LED se může rozsvítit.

Po otočení postavičky tak, aby obě nohy ležely přibližně na stejné ekvipotenciální čáře, se napětí mezi nimi zmenší. Pokus tedy ukazuje, že nerozhoduje jen délka kroku, ale také jeho směr a místo, kde krokáček stojí.

Bezpečnost: používejte pouze baterie nebo bezpečný školní zdroj nízkého napětí. Nádobu s mokrým materiálem nikdy nepřipojujte k elektrické síti.

Ekvipotenciální plochy

Spojíme-li všechny body se stejným potenciálem, dostaneme ekvipotenciální plochu. V rovinném obrázku ji zobrazujeme jako ekvipotenciální čáru.

  • Při pohybu po ekvipotenciální ploše se potenciál ani potenciální energie nemění.
  • Elektrická síla při takovém pohybu nekoná práci.
  • Ekvipotenciální plochy jsou kolmé k siločárám.
  • Čím jsou sousední ekvipotenciální čáry blíže u sebe, tím větší je intenzita elektrického pole.

Vyzkoušejte simulaci PhET Náboje a pole: rozmístěte náboje, zapněte hodnoty napětí a nakreslete několik ekvipotenciálních čar. Sledujte, jak protínají siločáry.

Úkol se simulací
  1. Umístěte jeden kladný náboj a nakreslete alespoň čtyři ekvipotenciální čáry.
  2. Přidejte stejně velký záporný náboj a porovnejte tvar čar.
  3. Najděte místo s potenciálem přibližně 0 V. Znamená nulový potenciál také nulovou intenzitu pole?

Ne. Nulová hodnota potenciálu sama o sobě neznamená, že je v daném místě nulová intenzita elektrického pole.

Homogenní elektrické pole

Potenciál mezi rovnoběžnými deskamiUzemněná záporná deska vlevo, kladná deska vpravo, rovné ekvipotenciální čáry rovnoběžné s deskami a elektrické pole směřující doleva. −+ φ = 0 Vφ = U ekvipotenciální čára směr intenzity E x
Souřadnici x měříme od uzemněné záporné desky směrem ke kladné. Potenciál proto s x roste, zatímco vektor intenzity míří opačně.

Mezi velkými rovnoběžnými deskami jsou ekvipotenciální plochy přibližně rovinné a rovnoběžné s deskami. Je-li vzdálenost desek d a napětí mezi nimi U, platí:

E = Ud

Je-li záporná deska uzemněna a souřadnici x měříme od ní ke kladné desce, pak:

φ(x) = E x = U xd

Radiální elektrické pole bodového náboje

Siločáry a ekvipotenciální hladiny radiálního poleZ kladného bodového náboje vycházejí radiální siločáry. Soustředné kružnice představují ekvipotenciální hladiny. + vektor intenzity ekvipotenciální čára φ₁φ₂φ₃φ₄
Vektory intenzity míří od kladného náboje ven. Blízko náboje jsou delší a ekvipotenciální čáry leží hustěji; s rostoucí vzdáleností intenzita rychle klesá. Ekvipotenciální plochy jsou soustředné koule, v rovinném řezu kružnice.

U osamoceného bodového náboje Q volíme nulový potenciál v nekonečnu. Ve vzdálenosti r od náboje je:

φ = 14πε0 · Qr = kQr Ep = qφ = kQqr

Q > 0

Potenciál je kladný a se vzdáleností klesá k nule.

Q < 0

Potenciál je záporný a se vzdáleností se blíží k nule zdola.

Ekvipotenciálními plochami jsou soustředné kulové plochy. V obrázku je vidíme jako soustředné kružnice.

Řešené příklady

1. Změna potenciální energie protonu

Proton přejde z místa s potenciálem 200 V do místa s potenciálem 50 V. Určete změnu jeho potenciální energie.

Zobrazit řešení

ΔEp = q(φB − φA) = 1,60·10−19·(50 − 200) J = −2,40·10−17 J. Energie klesla; elektrická síla vykonala kladnou práci.

2. Potenciál mezi deskami

Desky vzdálené 4,0 cm mají napětí 600 V. Záporná deska je uzemněna. Jaký je potenciál ve vzdálenosti 1,0 cm od ní?

Zobrazit řešení

φ = U x/d = 600·1,0/4,0 V = 150 V.

3. Potenciál bodového náboje

Určete potenciál ve vzdálenosti 0,30 m od bodového náboje 2,0 nC.

Zobrazit řešení

φ = kQ/r = 8,99·109·2,0·10−9/0,30 V ≐ 60 V.

Procvičení

Časté omyly

  • „Potenciál a potenciální energie jsou totéž.“ Ne. Potenciál φ popisuje místo v poli a nezávisí na vloženém zkušebním náboji. Potenciální energie Ep = qφ závisí i na jeho velikosti a znaménku.
  • „Nulový potenciál znamená nulové elektrické pole.“ Ne. Nula potenciálu může být pouze zvolenou referenční hodnotou. Intenzita souvisí s tím, jak rychle se potenciál mění v prostoru, ne s jeho samotnou hodnotou.
  • „Každý náboj se pohybuje k nižšímu potenciálu.“ To platí pro kladný náboj. Záporný náboj se působením elektrické síly pohybuje k vyššímu potenciálu, ale jeho potenciální energie přitom klesá.
  • „Ekvipotenciální čáry jsou všude stejně daleko od sebe.“ Jen v homogenním poli při stejně zvolených rozdílech potenciálu. V radiálním poli jsou blízko náboje hustší, protože se tam potenciál mění se vzdáleností rychleji.

Česko-anglický slovníček

elektrická potenciální energie
electric potential energy
elektrický potenciál
electric potential
rozdíl potenciálů
potential difference
ekvipotenciální plocha
equipotential surface
ekvipotenciální čára
equipotential line
uzemnění
grounding
referenční hladina
reference level
radiální pole
radial field