Práce v elektrickém poli a elektrické napětí

O Franklinových elektrických zvoncích už byla řeč: měly ho upozornit, že se blíží bouřka. Tehdy jsme ale nechali bez odpovědi to nejzajímavější. Jak se mohou zvonky samy rozeznít, i když se jich nikdo nedotýká?

Mezi dvěma kovovými zvonky visí na nevodivém vlákně malá kovová kulička. Jeden zvonek je spojen s vodičem vyvedeným k hromosvodu, druhý se zemí. Když se při bouřce mezi zvonky vytvoří dostatečně velké napětí, kulička se dá do pohybu. Naráží střídavě do obou zvonků — a při každém dotyku zároveň přenese část elektrického náboje.

Ve videu sledujte, co se s kuličkou stane po každém dotyku se zvonkem.

Jak Franklinovy elektrické zvonky přenášejí nábojČtyři po sobě jdoucí obrázky ukazují dotyk vodivé kuličky se zvonky, změnu jejího náboje a změnu směru pohybu. +− +−nenabitá kulička je přitažena +−+kulička převezme kladný náboj +−+jeden zvonek odpuzuje, druhý přitahuje +−−náboj se změní a pohyb se obrátí
Jeden cyklus pohybu kuličky. Přívody jsou vedeny vně zvonků; zdroj zde nahrazuje rozdíl elektrických potenciálů, který v původním zařízení vznikal při bouřce.

Po dotyku s prvním zvonkem získá kulička náboj stejného znaménka. Tento zvonek ji začne odpuzovat, zatímco druhý ji přitahuje. U druhého zvonku kulička znovu narazí, změní svůj náboj a vydá se zpět. Dokud je mezi zvonky udržováno napětí, děj se opakuje.

Elektrická síla kuličku opakovaně uvádí do pohybu a při nárazech vzniká zvuk. Odkud se bere energie, která se takto mění na pohyb, zvuk a teplo?
Odpověď na úvodní otázku

Při pohybu kuličky působí elektrická síla po určité dráze, a proto koná práci. Elektrická energie se přitom mění na pohybovou energii kuličky a při nárazu na zvuk a teplo. Energii dodává připojený zdroj; u původního zařízení ji poskytovalo elektrické pole vzniklé při bouřce. Kulička energii nevyrábí, pouze ji přenáší a umožňuje její přeměny. Jakmile zdroj přestane udržovat elektrické pole, pohyb zanikne — nejde tedy o perpetuum mobile.

Práce elektrické síly

S mechanickou prací jste se už nejspíš setkali. Působí-li na těleso stálá síla F a těleso se posune o dráhu s, je práce této síly definována vztahem:

W = Fs cos α

Úhel α svírá síla se směrem posunutí. Ve směru síly je α = 0°, takže cos α = 1 a vztah se zjednoduší na W = Fs. Kolmo ke směru síly je práce nulová.

V homogenním elektrickém poli mezi rovnoběžnými deskami působí na částici s nábojem q stálá elektrická síla. Posune-li se částice o vzdálenost d přímo ve směru této síly, platí:

We = Fed

Protože Fe = qE, dostaneme pro kladný náboj pohybující se ve směru pole:

We = qEd

E je velikost intenzity elektrického pole a d vzdálenost ve směru pole. U obecného posunutí rozhoduje pouze jeho složka ve směru elektrické síly.

Ve směru elektrické síly

Elektrické pole koná kladnou práci a elektrická potenciální energie částice klesá.

We > 0,   ΔEp < 0

Proti směru elektrické síly

Chceme-li částici pomalu přenést opačně, musí kladnou práci vykonat vnější síla. Potenciální energie roste.

Wvnější > 0,   ΔEp > 0
Pozor na dvě různé práce: práce elektrické síly a změna potenciální energie mají opačné znaménko: We = −ΔEp.

Záleží na cestě?

Tři cesty mezi body A a B v homogenním poliPřímá, lomená a zakřivená cesta spojují stejné body A a B. Práce elektrické síly je pro všechny stejná. směr pole EAB stejný posun ve směru pole
Tři různé trajektorie spojují stejné body. Úseky kolmé ke směru pole k práci elektrické síly nepřispívají; rozhoduje jen celkový posun ve směru pole.

Práce elektrické síly nezávisí na tvaru trajektorie, ale pouze na počátečním a koncovém bodě. Elektrické pole nepohyblivých nábojů je proto konzervativní.

Co když se částice vrátí do výchozího bodu?

Po uzavřené cestě je celková práce elektrické síly nulová. Při jedné části pohybu může pole energii částici předat, při návratu ji však musí stejnou energii odebrat. Po návratu do výchozího bodu má částice stejnou elektrickou potenciální energii jako na začátku.

Právě proto nelze sestrojit perpetuum mobile, které by pouhým opakovaným obíháním náboje v elektrostatickém poli trvale dodávalo energii. Aby se děj opakoval a přitom se energie měnila například na teplo či pohyb, musí ji do soustavy znovu dodat zdroj.

Elektrické napětí

Přenesení náboje mezi dvěma body může být spojeno s různě velkou prací. Samotná práce ale závisí také na velikosti přenášeného náboje. Vlastnost dvojice bodů proto popíšeme prací připadající na jednotkový náboj.

Elektrické napětí mezi body A a B určuje, jak velkou práci vykoná elektrická síla při přenesení kladného náboje 1 C z bodu A do bodu B. UAB = We,A→Bq

Jednotkou je volt:

[U] = J/C = V

Zápis UAB vždy porovnává dva body. Proto obvykle říkáme „mezi body A a B je napětí 5 V“. Pokud mluvíme o napětí v jediném bodě, musí být předem jasné, vůči čemu je měříme — například vůči zemi.

Význam jednotky lze přečíst přímo ze vztahu U = W/q: napětí 1 V znamená, že na každý 1 C přeneseného náboje připadá práce 1 J. Proto může 9V baterie při přesunu náboje 1 C předat vnějšímu obvodu přibližně 9 J energie. Při přesunu náboje 2 C by to bylo přibližně 18 J.

Napětí není energie. Udává, kolik energie připadá na jednotkový náboj. Skutečně předaná energie závisí také na velikosti náboje: W = qU.
Poznámka pro učitele: pořadí bodů a znaménko

V této kapitole je napětí zavedeno jako práce elektrické síly při přesunu kladného náboje z A do B: UAB = We,A→B/q = φA − φB. Některé učebnice používají symbolem UAB rozdíl φA − φB, jiné slovní spojení „napětí bodu B vůči A“ pro φB − φA. Je vhodné vždy uvést směr přenosu nebo pořadí potenciálů.

Napětí v homogenním elektrickém poli

Uvažujme dvě rovnoběžné desky vzdálené o d. Mezi nimi je přibližně homogenní elektrické pole o intenzitě E. Přeneseme kladný náboj q od kladné desky A k záporné desce B, tedy ve směru elektrické síly.

Napětí mezi dvěma rovnoběžnými deskamiVzdálenost d je vyznačena od vnitřního povrchu kladné desky A k vnitřnímu povrchu záporné desky B. Elektrické pole směřuje od kladné k záporné desce. +−AB E = konstantní +pohyb kladného náboje ve směru síly vzdálenost desek d
Body A a B leží na vnitřních površích desek, takže jejich vzdálenost ve směru pole je právě vzdálenost desek d. Vztah níže platí pro velikosti napětí a intenzity.

Na náboj působí stálá síla o velikosti Fe = qE. Práce elektrické síly při pohybu mezi deskami je proto:

We = Fed = qEd

Napětí mezi týmiž body A a B jsme definovali jako práci elektrické síly připadající na jednotkový náboj:

UAB = We,A→Bq

Do definice napětí nyní dosadíme práci We = qEd. Náboj q se zkrátí:

U = qEdq = Ed

Napětí mezi deskami tedy roste s intenzitou pole i s jejich vzdáleností. Ze stejného vztahu můžeme vyjádřit intenzitu:

E = Ud

Po dosazení jednotek dostaneme [E] = V/m. Jednotka V/m je rovnocenná jednotce N/C, kterou už známe z definice intenzity pole.

Od létající formičky k urychlovači

Práci elektrického pole nemusíme pozorovat jen mezi dvěma deskami. Někdy ji prozradí pohyb lehké kovové formičky, jindy světlo na obrazovce. Ve velkých urychlovačích získávají stejným způsobem energii protony. V každém z těchto případů se hodí tentýž vztah W = qU.

Van de Graaffův generátor: proč kovová formička vyskočí?

Položíme-li na kopuli lehkou kovovou formičku, přejde na ni náboj stejného znaménka, jaký má kopule. Elektrická síla ji odpudí a uvede do pohybu. Část elektrické energie se změní na pohybovou a později na polohovou energii formičky.

Jak vznikal obraz ve starém televizoru?

V obrazovce vznikal ve vakuu svazek elektronů. Elektrické pole je urychlovalo směrem ke stínítku; po průchodu napětím U mohl každý elektron získat energii o velikosti eU. Při dopadu se část této energie změnila na světlo.

Prohlédnout skutečnou obrazovou elektronku (Science Museum Group)

Napětí, které pomohlo změnit atomové jádro

Roku 1932 použili John Cockcroft a Ernest Walton vysoké napětí k urychlení protonů. Ty pak dopadaly na jádra lithia a dokázaly je rozštěpit. V částicové fyzice se energie často udává v elektronvoltech (eV):

1 eV = 1,602 · 10−19 J

Cockcroftův–Waltonův urychlovač (Nobel Prize)

Řešené příklady

1. Práce elektrické síly
Mezi dvěma body je napětí 12 V. Jakou práci vykoná elektrická síla při přesunu náboje 0,50 C ve směru poklesu potenciálu?

Postup a výsledek

Ze vztahu U = We/q vyjádříme práci:

We = qU = 0,50 · 12 J = 6,0 J

Pohyb je ve směru elektrické síly, proto je její práce kladná.

2. Pole mezi deskami
Desky jsou vzdáleny 4,0 cm a napětí mezi nimi je 600 V. Určete intenzitu pole.

Postup a výsledek

Nejprve převedeme vzdálenost: 4,0 cm = 4,0 · 10−2 m. Potom použijeme E = U/d:

E = 6004,0 · 10−2 V/m = 1,5 · 104 V/m

3. Proton a elektron
Proton a elektron se přesunou z bodu A do bodu B. Jak se porovná práce elektrické síly, je-li UAB = 200 V?

Postup a výsledek

Obě částice mají stejně velký náboj, ale opačné znaménko. Ze vztahu We = qU proto vyplývá:

Wproton = +eU,    Welektron = −eU

Práce mají stejnou velikost, ale opačné znaménko. Elektrická síla by tedy sama urychlovala proton z A do B, zatímco elektron opačným směrem.

Procvičení

A. Elektrická síla vykoná při přesunu náboje 3,0 C práci 15 J. Jaké je napětí mezi body?
B. Homogenní pole má intenzitu 2,0 kV/m. Jaké napětí je mezi body vzdálenými 15 cm ve směru pole?

Úloha k diskusi
Dvě částice se stejným kladným nábojem se z bodu A dostanou do bodu B po různých drahách. První dráha je dvakrát delší. Vykoná elektrická síla na první částici dvakrát větší práci?

Odpověď a vysvětlení

Ne. V elektrostatickém poli závisí práce pouze na počátečním a koncovém bodě, nikoli na délce trajektorie. Pro oba přesuny je tedy práce stejná.

Historická zajímavost: od „elektrického napětí“ k voltu

Alessandro Volta používal na konci 18. století představu elektrického napětí ještě dříve, než vznikla dnešní energetická definice. Roku 1800 popsal v dopise prezidentovi Královské společnosti Josephu Banksovi svůj „elektromotorický přístroj“ - Voltův sloup, první zdroj schopný udržovat elektrický proud. Přidáváním dalších článků zvětšoval elektrické působení mezi konci sloupu.

Na jeho počest byla jednotka napětí později nazvána volt. Moderní definice už není založena na neurčité představě „elektrického tlaku“, ale na energii připadající na náboj: 1 V = 1 J/C.

Voltův dopis a jeho vlastní nákres baterie
Stránka původního rukopisného dopisu Alessandra Volty s jeho nákresy Voltova sloupu
Stránka původního Voltova rukopisu z roku 1800. Nahoře jsou jeho vlastní nákresy různých uspořádání Voltova sloupu. Kliknutím se otevře celý digitalizovaný dopis v archivu Royal Society.

Dopis je psán francouzsky; Volta v něm popsal „elektromotorický přístroj“ tvořený střídajícími se kovovými kotouči a vlhkými mezivrstvami.

Časté omyly

  • „Napětí teče obvodem.“ Napětí neteče. Je to rozdíl elektrického potenciálu mezi dvěma body. Obvodem se uspořádaně pohybují nosiče náboje.
  • „Napětí je energie.“ Napětí udává energii připadající na jednotkový náboj. Předaná energie závisí na napětí i na velikosti náboje: W = qU.
  • „V jednom bodě je napětí.“ Napětí vždy porovnává dva body; u údaje pro jeden bod musí být znám referenční bod, například zem.
  • „Práce závisí na délce cesty.“ V elektrostatickém poli závisí na počátečním a koncovém bodě. Delší trajektorie sama o sobě neznamená větší práci elektrické síly.
  • „Kladný i záporný náboj se pohybují ve směru pole.“ Směr pole je definován směrem síly na kladný zkušební náboj. Na záporný náboj působí síla opačně.

Česko-anglický slovníček

elektrická práce
electric work
elektrické napětí
voltage
rozdíl potenciálů
potential difference
elektrický potenciál
electric potential
potenciální energie
potential energy
homogenní pole
uniform field
konzervativní pole
conservative field
volt
volt