Praktikum 1

Váš úkol: Zjistěte, jak velkou sílu vydrží proužek papíru, než se přetrhne. Prozkoumejte, jak tato síla závisí na průřezu proužku, a určete mez pevnosti papíru v tahu.

Z naměřených hodnot vytvořte graf, proložte jimi přímku a využijte její směrnici k určení pevnosti papíru. Nakonec odhadněte, jaké zatížení by teoreticky vydržel celý list papíru.

1. Pomůcky

  • Papírové proužky o šířkách 0,2 cm, 0,5 cm a 1,0 cm.
  • Izolepa.
  • Uzavíratelný zipový sáček.
  • Závaží pro postupné zatěžování.
  • Digitální váha s maximální kapacitou 500 g.
  • Pravítko.
  • Počítač nebo mobil pro vytvoření grafu.

Známý údaj: Pro výpočty budeme uvažovat tloušťku papíru d = 0,10 mm.

Jde o přibližnou hodnotu běžného kancelářského papíru. Skutečná tloušťka závisí na jeho druhu.

2. Příprava experimentu

Jeden konec papírového proužku připevněte pomocí izolepy k pevné části stolu tak, aby druhý konec mohl volně viset.

Na volný konec proužku připevněte pomocí izolepy uzavíratelný zipový sáček. Do něj budete postupně přidávat závaží.

Dbejte na to, aby byl proužek zatěžován především ve směru své délky. Neměl by se kroutit ani výrazně ohýbat.

Stůl Papírový proužek Izolepa Zipový sáček se závažími Tíhová síla
Obr. 1: Schéma experimentu. Papírový proužek je upevněn ke stolu a na jeho volném konci visí uzavřený zipový sáček se závažími. Schéma není v měřítku.

Bezpečnost: Při přetržení papíru sáček spadne. Závaží proto musí zůstat uvnitř uzavřeného sáčku. Pod sestavu umístěte měkkou podložku. Sáček můžete navíc zajistit volným pojistným provázkem, který během měření nenese žádnou sílu.

Nenechávejte ruce ani nohy pod zavěšeným závažím.

3. Měření

  1. Začněte nejužším proužkem o šířce 0,2 cm.
  2. Připevněte jej ke stolu a na druhý konec zavěste zipový sáček.
  3. Postupně přidávejte do sáčku závaží. Přidávejte je opatrně, aby se sáček nerozhoupal. Po každém přidání sáček uzavřete.
  4. Pokračujte, dokud se papír nepřetrhne.
  5. Zvažte celou zavěšenou sestavu: sáček, všechna závaží a případné části upevnění, které byly zavěšeny na papíru.
  6. Stejný postup zopakujte pro proužky o šířkách 0,5 cm a 1,0 cm.

Pozor na váhu! Použité digitální váhy mají maximální kapacitu 500 g. Nikdy na ně nepokládejte těžší předměty.

Pokud bude celková hmotnost zavěšené sestavy vyšší než 500 g, rozdělte závaží na několik částí, které zvážíte samostatně, a jejich hmotnosti sečtěte. Nezapomeňte připočítat také hmotnost sáčku a zavěšeného upevnění.

Na co si dát pozor? Proužek se musí přetrhnout v samotném papíru, ideálně v jeho volné části.

Pokud se odlepí izolepa nebo se papír vytrhne v místě upevnění, měření neposkytuje spolehlivou hodnotu pevnosti papíru v tahu. Takový pokus zopakujte.

Při přidávání závaží vzniká určitá nejistota: papír mohl vydržet předchozí zatížení, ale při dalším přidaném závaží už praskl. Čím menší budou přírůstky hmotnosti, tím přesněji určíte mezní zatížení.

4. Výpočet síly a průřezu

Síla při přetržení

Z naměřené hmotnosti určete velikost tíhové síly působící na zavěšený sáček:

F = mg

Kde m je hmotnost celé zavěšené sestavy v kilogramech a g ≈ 9,81 m/s².

Průřez papíru

Budeme předpokládat, že příčný průřez papírového proužku má tvar obdélníku. Jeho obsah vypočítáme:

S = bd

Kde b je šířka proužku a d = 0,10 mm jeho tloušťka.

Průřez vyjádřete v mm². Pro graf je tato jednotka přehlednější než m², protože průřezy papíru jsou malé.

Otázka: Proč při určování pevnosti papíru nestačí znát pouze šířku proužku? Proč potřebujeme také jeho tloušťku?

5. Graf závislosti síly na průřezu

Vytvořte bodový graf závislosti síly potřebné k přetržení na obsahu příčného průřezu papíru.

  • Vodorovná osa: průřez S [mm²].
  • Svislá osa: síla při přetržení F [N].

Jak proložit naměřené body přímkou?

Naměřené body pravděpodobně nebudou ležet přesně na jedné přímce. Chceme proto najít takovou přímku, která je co nejlépe vystihuje. Tento postup se nazývá lineární regrese.

Postup v Excelu nebo Google Tabulkách:

  1. Zapište data do dvou sloupců. Do prvního sloupce vložte průřezy S [mm²], do druhého odpovídající síly F [N]. Každý řádek představuje jedno měření.
  2. Označte oba sloupce a vložte bodový graf (XY). Nepoužívejte spojnicový graf, protože potřebujete skutečné číselné hodnoty na vodorovné ose.
  3. Přidejte spojnici trendu. V Excelu klikněte na některý z bodů pravým tlačítkem a zvolte „Přidat spojnici trendu“. V Google Tabulkách otevřete editor grafu, sekci „Přizpůsobit → Řady“, a zapněte „Spojnice trendu“.
  4. Zvolte lineární typ. Program vypočítá přímku, která nejlépe odpovídá naměřeným bodům.
  5. Zobrazte rovnici přímky. V Excelu zaškrtněte „Zobrazit rovnici v grafu“. V Google Tabulkách nastavte u spojnice trendu popisek „Použít rovnici“.
  6. Zapište rovnici. Bude mít tvar F = kS + q. Hodnoty k a q určíte z rovnice zobrazené v grafu.

Například pokud program zobrazí rovnici y = 25x + 0,2, znamená to v našem případě:

F = 25S + 0,2

Směrnice přímky je tedy k = 25 N/mm². Jde pouze o ilustrační příklad, nikoli o očekávaný výsledek měření.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 5 10 15 20 25 Lineární regrese Průřez S [mm²] Síla F [N]
Obr. 2: Ilustrační graf závislosti síly potřebné k přetržení papíru na obsahu jeho průřezu. Body představují pouze ukázková data, nikoli skutečně naměřené hodnoty. Přímka byla získána lineární regresí.

Určení meze pevnosti

Mechanické napětí definujeme jako sílu působící na jednotku plochy:

σ = F / S

Při přetržení dosahuje napětí přibližně meze pevnosti materiálu v tahu σp. Pokud je tato hodnota pro všechny proužky přibližně stejná, platí:

F ≈ σpS

Směrnice přímky tedy odpovídá odhadu meze pevnosti papíru v tahu:

σp ≈ k

Protože v grafu používáme průřez v mm² a sílu v newtonech, bude mít směrnice jednotku N/mm².

Platí:

1 N/mm² = 1 MPa

Číselná hodnota směrnice tedy přímo odpovídá mezi pevnosti v megapascalech.

Otázka k zamyšlení: Měla by přímka procházet počátkem souřadnicové soustavy? Co by fyzikálně znamenalo, kdyby měla nenulový průsečík se svislou osou?

6. Kolik by unesl celý list papíru?

Představte si, že bychom místo úzkého proužku použili papír o šířce 21 cm, tedy o šířce kratší strany listu A4.

Předpokládejte, že tloušťka papíru zůstane stejná.

Postup extrapolace

  1. Vypočítejte průřez listu. Použijte vztah S = bd, kde b = 210 mm a d = 0,10 mm. Výsledek vyjádřete v mm².
  2. Použijte rovnici své přímky. Do rovnice F = kS + q dosaďte vypočtený průřez listu.
  3. Vypočítejte sílu. Získáte odhad síly, při které by se takto široký papír přetrhl.
  4. Převeďte sílu na hmotnost. Použijte vztah m = F / g.
  5. Porovnejte výsledek s realitou. Zamyslete se, zda by takto široký papír skutečně unesl vypočtené zatížení.

Co znamená extrapolace? Z naměřených hodnot jste vytvořili přímku, která popisuje závislost síly na průřezu. Nyní tuto přímku využijete k odhadu hodnoty mimo rozsah původního měření.

Nejde tedy o další naměřený údaj, ale o předpověď založenou na předpokladu, že stejná závislost platí i pro mnohem širší papír.

Jde pouze o teoretický odhad. Extrapolujete daleko za rozsah naměřených hodnot. Ve skutečnosti mohou výslednou pevnost ovlivnit nerovnoměrné zatížení, poškození papíru, jeho struktura nebo způsob uchycení.

Vypočtené zatížení se proto nepokoušejte experimentálně ověřovat.

7. Co má obsahovat protokol?

  • Cíl: Co jste chtěli zjistit?
  • Pomůcky a postup: Jak jste papír zatěžovali a jak jste určovali sílu při přetržení?
  • Naměřené hodnoty: Šířky proužků a hmotnosti při přetržení.
  • Výpočty: Síly a obsahy průřezů.
  • Graf: Závislost síly na průřezu s lineárním proložením a rovnicí přímky.
  • Výsledek: Odhad meze pevnosti papíru v tahu a teoretické zatížení listu A4.
  • Diskuze: Co mohlo způsobit chyby měření? Odpovídají výsledky předpokládané lineární závislosti?
  • Závěr: Co jste o pevnosti papíru zjistili?

V diskuzi se zaměřte především na způsob upevnění proužků, přesnost určení zatížení při přetržení a možné rozdíly mezi jednotlivými proužky papíru.

8. Kontrolní seznam