Průměrná a okamžitá rychlost

Dokáže člověk předběhnout metro?

Dveře londýnského metra se otevřou ve stanici Mansion House. Většina cestujících vystoupí a zamíří ke schodům. James Heptonstall má ale úplně jiný plán.

Vyběhne z vagónu, proběhne turniketem, vyrazí ulicemi Londýna a zamíří k další stanici Cannon Street. Mezitím se dveře za ostatními cestujícími zavřou a metro se vydá stejným směrem pod zemí.

Heptonstall nechce doběhnout k nějakému dalšímu vlaku. Chce se dostat na Cannon Street tak rychle, aby tam seběhl na nástupiště a nastoupil zpět do stejné soupravy, ze které právě vystoupil.

Na běžce čeká přibližně:

380 m běhu ulicemi
75 schodů
2 turnikety

Metro má sice motor a koleje, ale také musí zavřít dveře, rozjet se, projet tunelem, zabrzdit a znovu otevřít dveře.

Kdo bude na Cannon Street dřív?
Než pustíte video, zkuste si tipnout.

Race the Tube, Londýn, 2014.

A co pražské metro?

Ve stejném roce se podobná výzva odehrála také v Praze. Dva běžci vystoupili na Hlavním nádraží a pokusili se doběhnout ulicemi na Muzeum dříve než metro.

Na povrchu je čekala trasa dlouhá přibližně 550 m. Zvládli ji asi za 1 minutu a 57 sekund a na Muzeu skutečně předstihli soupravu, ze které vystoupili.

Běžec a metro se přitom nepohybují stejným způsobem. Nejedou po stejné trase a cesta jim netrvá stejně dlouho. Samotná informace o tom, kdo dorazil první, nám proto o jejich pohybu neřekne všechno.

Chceme-li pohyb různých těles porovnávat, potřebujeme vzít v úvahu dvě věci: jakou dráhu urazila a jak dlouho jim to trvalo.

Právě spojením těchto dvou údajů získáme jednu z nejdůležitějších veličin v mechanice – rychlost.

Průměrná rychlost

Představme si dvě tělesa, která se pohybují stejnou dobu. To, které za tuto dobu urazí větší dráhu, se pohybuje v průměru rychleji.

Stejně tak můžeme porovnat dvě tělesa, která urazí stejnou dráhu. Rychlejší je to, které ji zvládne za kratší dobu.

Abychom mohli porovnávat i situace, ve kterých se liší dráha i čas, zavedeme fyzikální veličinu průměrná rychlost.

Průměrná rychlost je podíl uražené dráhy a času, za který těleso tuto dráhu urazilo.
vp = s t
kde s je uražená dráha a t je doba pohybu.

Jednotky rychlosti

Základní jednotkou rychlosti v soustavě SI je metr za sekundu [m/s]. V běžném životě často používáme také kilometr za hodinu [km/h].

Převod mezi m/s a km/h:
m/s → km/h: násobíme 3,6
km/h → m/s: dělíme 3,6
Proč právě 3,6?

Jeden kilometr má 1000 metrů a jedna hodina 3600 sekund. Proto:

1 m/s = 1 · 3600 / 1000 km/h = 3,6 km/h.

Při převodu opačným směrem proto dělíme 3,6. Například:

72 km/h : 3,6 = 20 m/s.

K čemu je průměrná rychlost v praxi?

S průměrnou rychlostí se setkáváme například při úsekovém měření automobilů.

Na začátku měřeného úseku kamera zaznamená vozidlo a čas jeho průjezdu. Druhá kamera totéž vozidlo zaznamená na konci úseku. Systém tedy nemusí přímo měřit rychlost automobilu v žádném konkrétním místě.

Stačí mu znát délku úseku a dobu, za kterou jej automobil projel.

Úsekové měření není žádná novinka

Jedním z prvních široce používaných systémů tohoto typu byl britský SPECS. První britská kamera pro měření průměrné rychlosti získala schválení pro automatické měření v roce 1999.

Systém identifikuje stejné vozidlo na různých místech silnice. Fyzikální princip je přesně ten, který jsme právě zavedli: dráha dělená časem.

Skutečný příklad: D1 u Šmejkalky

Na dálnici D1 se na mostě Šmejkalka měří úseková rychlost mezi km 23,33 a km 24,38. Délka měřeného úseku je tedy přibližně 1,05 km.

km 23,33
km 24,38
1,05 km

Zkuste to jako úsekový měřič

Automobil projede prvním místem v 10:15:00 a druhým v 10:15:27.

Uražená dráha
s = 1,05 km = 1050 m
Doba průjezdu
t = 27 s
Výpočet průměrné rychlosti
vp = 1050 / 27 ≈ 38,9 m/s

Převedeme na km/h:

38,9 · 3,6 ≈ 140 km/h.

Průměrná rychlost automobilu na tomto úseku byla přibližně 140 km/h.

Víme, jakou rychlostí auto projelo kolem první kamery?

Ne. Známe pouze průměrnou rychlost během celého měřeného úseku.

Auto mohlo část cesty jet pomaleji a část rychleji. Z údajů dvou kamer samotných tedy nepoznáme, jakou rychlost mělo v konkrétním okamžiku.

Kde se v Česku měří úseková rychlost?

Šmejkalka není jediným místem. V oficiálním seznamu Policie ČR jsou uvedena automatizovaná úseková měření na řadě dálnic a silnic.

Silnice Místo
D1 most Šmejkalka
D1 tunel Klimkovice
D8 tunel Panenská
D8 tunel Radejčín
D0 Cholupice
D0 Lochkov
D0 Jesenice
D0 Modletice
D5 tunel Valík
I/6 Karlovy Vary – Olšová Vrata
I/21 hráz vodní nádrže Jesenice
I/37 Výšinka
I/50 několik úseků v oblasti Buchlova a Stupavy
D4 / I/20 několik úseků mezi Skalkou a Krašovicemi
Seznam se může měnit.
Aktuální úplný seznam je proto nejlepší ověřit přímo na stránkách Policie České republiky.

Aktuální seznam Policie ČR →

Rychlost není vždy totéž

V češtině používáme slovo rychlost pro několik blízkých pojmů. Angličtina mezi nimi rozlišuje přesněji.

speed

Udává pouze velikost rychlosti. Například údaj 80 km/h na tachometru.

velocity

Označuje vektor rychlosti. Ten má velikost a zároveň směr.

Zatím nás zajímá především to, jak rychle se těleso pohybuje, tedy velikost rychlosti. Později přidáme také směr.

Rychlost se může během pohybu měnit

Automobil obvykle nejede po celou cestu stejnou rychlostí. Rozjíždí se, část cesty jede přibližně stálou rychlostí, zatáčí, zpomaluje a zastavuje.

Můžeme proto rozdělit trajektorii na kratší úseky Δs a sledovat časové intervaly Δt, za které je těleso urazilo.

Průměrná rychlost na vybraném úseku je
vp = Δs Δt .

Čím kratší část pohybu sledujeme, tím podrobnější informaci o jeho průběhu získáme.

Průměrná rychlost není průměr rychlostí

Pokud známe rychlosti v několika částech cesty, nemůžeme je obecně jednoduše sečíst a vydělit jejich počtem.

Pro celý pohyb platí:

vp = celková dráha celkový čas

Jízda a čekání

Auto jede rychlostí 50 km/h, ale část sledované doby stojí. Nastavte, jak dlouho jede a jak dlouho stojí.

Doba jízdy: 1 h
Doba stání: 1 h
Uražená dráha
50 km
Průměrná rychlost
25 km/h

Pozor: aritmetický průměr jednotlivých rychlostí obecně není průměrnou rychlostí celého pohybu. Rozhodující je celková uražená dráha a celkový čas.
Auto 9 hodin stojí a 1 hodinu jede rychlostí 50 km/h. Jaká je průměrná rychlost?

Za jednu hodinu jízdy ujede 50 km. Celková sledovaná doba je ale 10 hodin.

vp = 50 km / 10 h = 5 km/h.

Aritmetický průměr hodnot 0 km/h a 50 km/h by byl 25 km/h, což je nesprávně.

Co nám o rychlosti řekne graf?

V minulé kapitole jsme zobrazovali závislost dráhy s na čase t. Z takového grafu můžeme zjistit také rychlost. Nejdříve ale potřebujeme vysvětlit jeden pojem.

Co je směrnice přímky?

Směrnice je číslo, které vyjadřuje, jak je přímka strmá.

Vybereme na přímce dva body. Mezi nimi zjistíme, o kolik jsme se posunuli svisle a o kolik vodorovně.

směrnice = svislá změna vodorovná změna

V grafu dráhy s v závislosti na čase t je svislou změnou Δs a vodorovnou změnou Δt.

směrnice = Δs Δt = vp

Směrnice přímky v grafu s(t) má tedy fyzikální význam: udává rychlost.

Průměrná rychlost z grafu dráhy

V následujícím grafu jsou vyznačeny čtyři okamžiky pohybu. Vyberte časový úsek a sledujte, jaké hodnoty času a dráhy odpovídají jeho krajním bodům.

Vyberte časový úsek

Modrá přímka spojující dva vybrané body grafu se nazývá sečna.

Její směrnice odpovídá průměrné rychlosti mezi těmito dvěma okamžiky.

Čím je sečna v grafu s(t) strmější, tím větší je průměrná rychlost.

A jak rychle se pohybuje právě teď?

Průměrná rychlost vždy popisuje určitý časový interval. Úsekové měření nám například řekne, jaká byla průměrná rychlost automobilu mezi dvěma kamerami.

Co když nás ale zajímá jeho rychlost v jediném okamžiku? Například hodnota, kterou právě ukazuje tachometr?

Můžeme začít tím, že časový interval, během kterého průměrnou rychlost určujeme, postupně zkracujeme.

Od sečny k tečně

Sledujeme pohyb popsaný grafem s = t2 a chceme zjistit rychlost v čase 4 s.

Délka časového intervalu Δt: 2,0 s
Časový interval
4,0–6,0 s
Průměrná rychlost
10,0 m/s

Když časový interval zmenšujeme, druhý bod se přibližuje k prvnímu a sečna se postupně přibližuje tečně ke grafu.

Směrnice tečny odpovídá okamžité rychlosti.

Od Galilea k okamžité rychlosti

Otázka, jak popsat pohyb tělesa, jehož rychlost se neustále mění, zaměstnávala fyziky a matematiky po staletí. Galileo Galilei na začátku 17. století podrobně zkoumal zrychlený pohyb. K jeho studiu používal mimo jiné nakloněné roviny, na kterých pohyb probíhal pomaleji než při volném pádu a dal se lépe měřit.

Později bylo potřeba matematicky přesně popsat, co znamená rychlost v jediném okamžiku. Tento typ problému patřil k otázkám, které vedly ke vzniku diferenciálního počtu.

Pro zájemce: Okamžitá rychlost a derivace

Průměrnou rychlost mezi časem t a časem t + Δt můžeme zapsat:

vp = s(t + Δt) − s(t) Δt .

Nyní Δt postupně zmenšujeme. Nemůžeme jednoduše dosadit nulu, protože bychom dělili nulou. Můžeme ale sledovat, k jaké hodnotě se podíl blíží.

v(t) = limΔt→0 s(t + Δt) − s(t) Δt .

Tato limita je derivací dráhy podle času:

v(t) = ds dt .

Geometricky je derivace směrnicí tečny ke grafu. Ve fyzice nám zde říká, jak rychle se dráha mění právě v daném okamžiku.

Newton a Leibniz

Diferenciální počet vytvořili v 17. století nezávisle na sobě Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz.

Newton o měnících se veličinách uvažoval v těsné souvislosti s pohybem. Nazýval je fluents a jejich rychlosti změny fluxions.

Leibniz zavedl zápis s diferenciály, z něhož vychází dodnes používaná notace například ds/dt.

Newton a Leibniz se později stali ústředními postavami sporu o prvenství při objevu diferenciálního počtu. Dnes se jejich práce považují za nezávislé příspěvky k jeho vzniku.

Okamžitá rychlost

Okamžitá rychlost popisuje, jak rychle a kterým směrem se těleso pohybuje v daném okamžiku.

S její velikostí se setkáváme například při jízdě autem. Tachometr ukazuje přibližně velikost okamžité rychlosti, nikoli průměrnou rychlost od začátku cesty.

Průměrná rychlost

Popisuje pohyb během určitého časového intervalu.

Okamžitá rychlost

Popisuje pohyb v určitém okamžiku. Jako vektor má velikost i směr.

Směr okamžité rychlosti

U přímočarého pohybu není směr rychlosti příliš nápadný. Význam získá zejména při pohybu po zakřivené trajektorii.

Vektor okamžité rychlosti je v daném bodě tečný k trajektorii a míří ve směru pohybu.

Vektor rychlosti na zakřivené trajektorii

Posouvejte bod po trajektorii a sledujte směr vektoru rychlosti.

I kdyby se velikost rychlosti neměnila, při pohybu po zakřivené trajektorii se mění její směr. Proto se mění vektor rychlosti.

Právě zde dobře vyniká anglické rozlišení: speed je velikost rychlosti, zatímco velocity je vektorová veličina. Při pohybu po křivce tedy může být speed konstantní, zatímco velocity se mění.

Rovnoměrný a nerovnoměrný pohyb

Podle toho, zda se velikost okamžité rychlosti mění, můžeme pohyb rozdělit na:

Pohyb Velikost rychlosti
rovnoměrný Velikost rychlosti se nemění.
nerovnoměrný Velikost rychlosti se mění.
Pozor na pohyb po křivce. Těleso se může pohybovat stále stejně rychle, ale protože se mění směr pohybu, mění se jeho vektor rychlosti.

Co si z kapitoly odnést

  • Průměrná rychlost udává, jakou dráhu těleso v průměru urazí za jednotku času.
  • Platí vp = s/t.
  • Pro část pohybu používáme vp = Δs/Δt.
  • Průměrná rychlost obecně není aritmetickým průměrem jednotlivých rychlostí.
  • V grafu s(t) odpovídá směrnice sečny průměrné rychlosti.
  • Při zmenšování časového intervalu se sečna přibližuje tečně.
  • Směrnice tečny odpovídá okamžité rychlosti.
  • Vektor okamžité rychlosti je tečný k trajektorii a míří ve směru pohybu.
  • Anglické speed označuje velikost rychlosti, zatímco velocity je vektorová rychlost.

Časté omyly

  • „Průměrná rychlost je průměr všech rychlostí během cesty.“ Obecně ne. Určuje se z celkové uražené dráhy a celkového času.
  • „Když byla průměrná rychlost 70 km/h, auto jelo většinu cesty 70 km/h.“ Nemuselo. Mohlo chvíli stát a jindy jet výrazně rychleji.
  • „Tachometr ukazuje průměrnou rychlost.“ Ne. Ukazuje přibližně velikost okamžité rychlosti.
  • „Rychlost se mění jen tehdy, když se mění číslo na tachometru.“ Ne. Rychlost jako vektor se mění také při změně směru.
  • „Čára v grafu s(t) je trajektorie.“ Ne. Graf ukazuje závislost uražené dráhy na čase, nikoli tvar pohybu v prostoru.
  • „Vektor rychlosti při pohybu po kružnici míří do středu.“ Ne. Vektor okamžité rychlosti je tečný k trajektorii.

Otázky na závěr

1. Cyklista ujede 30 km za 1,5 h. Jaká je jeho průměrná rychlost?
vp = 30 km / 1,5 h = 20 km/h.
2. Převeďte 90 km/h na m/s.

Při převodu z km/h na m/s dělíme 3,6:

90 : 3,6 = 25 m/s.
3. Auto jednu hodinu stojí a jednu hodinu jede 80 km/h. Jaká je průměrná rychlost?

Za hodinu jízdy ujede 80 km. Celková doba je 2 h.

vp = 80 / 2 = 40 km/h.
4. Co představuje směrnice sečny v grafu s(t)?

Průměrnou rychlost během časového intervalu mezi dvěma vybranými body grafu.

5. Co představuje směrnice tečny v grafu s(t)?

Okamžitou rychlost v daném okamžiku.

6. Může se velocity měnit, i když speed zůstává stejná?

Ano. Například při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstává velikost rychlosti stejná, ale její směr se neustále mění. Proto se mění vektor rychlosti.

Slovníček

rychlost velocity
velikost rychlosti speed
průměrná rychlost average speed
okamžitá rychlost instantaneous velocity
časový interval time interval
sečna secant line
tečna tangent line
směrnice slope
derivace derivative
rovnoměrný pohyb uniform motion
nerovnoměrný pohyb non-uniform motion

Zdroje

Race the Tube – původní londýnský pokus, Mansion House → Cannon Street, 2014. Video

Český atletický svaz: Běžci v souboji s metrem uspěli už i v Praze. Česká atletika

Policie České republiky: Seznam automatizovaných technických prostředků. Policie ČR

UK Parliament: materiály k systému úsekového měření SPECS. UK Parliament

MacTutor History of Mathematics: materiály k historii diferenciálního počtu. The rise of calculus