Průměrné a okamžité zrychlení

Z 0 na 400 km/h. A zase zpátky.

Jak dlouho může automobilu trvat, než se z klidu rozjede na 400 km/h a potom znovu úplně zastaví?

V roce 2017 se o to pokusil Bugatti Chiron. Za volantem seděl závodník Juan Pablo Montoya.

Než video spustíte:
Odhadněte, kolik sekund může celý pokus trvat. A která část bude podle vás kratší – rozjezd, nebo brzdění?

Bugatti Chiron – 0–400–0 km/h.

Celý manévr trval 41,96 s. Automobil během něj ujel 3,112 km. Samotné zabrzdění ze 400 km/h do klidu trvalo pouze 9,3 s.

Co se během pokusu měnilo?
Nejprve se rychlost automobilu zvětšovala z 0 na 400 km/h. Potom se zmenšovala zpět k nule. Jak ale můžeme popsat, jak rychle se rychlost měnila?

Stejná změna rychlosti, úplně jiný čas

Extrémní Bugatti teď nechme stranou. Porovnejme dvě auta, která jsou si mnohem méně podobná.

sportovní automobil

Porsche 911 Turbo S

Z 0 na 100 km/h za

2,5 s
běžný malý automobil

Škoda Fabia 1.0 MPI 59 kW

Z 0 na 100 km/h za

15,7 s

Údaje výrobců pro uvedené modely a motorizace.

Obě auta provedla stejnou změnu rychlosti:
0 km/h → 100 km/h. Porsche ji ale zvládlo za 2,5 s, zatímco Fabii to trvalo 15,7 s. Jak tuto odlišnost popsat jednou fyzikální veličinou?

Nestačí znát pouze změnu rychlosti. Musíme vědět také, za jakou dobu k této změně došlo.

K tomu používáme zrychlení.

Co je zrychlení?

Představme si automobil, který jede rychlostí 10 m/s. O jednu sekundu později jede rychlostí 13 m/s.

Jeho rychlost se tedy během jedné sekundy změnila o 3 m/s.

Zrychlení je fyzikální veličina, která charakterizuje změnu rychlosti s časem.

Zrychlení značíme písmenem a.

Rychlost je ve skutečnosti vektorová veličina, a proto je vektorem také zrychlení. Pro přímočarý pohyb si teď vystačíme s velmi jednoduchým pravidlem.

Zrychluje

Velikost rychlosti se zvětšuje.

v
a

Vektor rychlosti v a vektor zrychlení a míří stejným směrem.

Zpomaluje

Velikost rychlosti se zmenšuje.

v
a

Vektor rychlosti v a vektor zrychlení a míří opačnými směry.

Pro přímočarý pohyb:
  • míří-li a stejně jako v, velikost rychlosti se zvětšuje;
  • míří-li a proti v, velikost rychlosti se zmenšuje.

Protože je rychlost vektor, může se měnit také její směr. Těleso tedy může mít zrychlení i tehdy, když se velikost jeho rychlosti nemění. K tomuto případu se vrátíme při studiu pohybu po kružnici.

Průměrné zrychlení

V okamžiku t1 má těleso rychlost v1. V pozdějším okamžiku t2 má rychlost v2.

Změna rychlosti je

Δv = v2 − v1.

Časový interval je

Δt = t2 − t1.

Průměrné zrychlení určíme jako změnu rychlosti dělenou dobou, za kterou tato změna nastala:

ap = Δv Δt

Přesněji jde o změnu vektoru rychlosti. Při přímočarém pohybu v jednom směru ale zatím můžeme pracovat pouze s hodnotami rychlosti.

Jak velké je průměrné zrychlení obou aut?

Obě auta změnila rychlost z 0 na 100 km/h. Nejdříve převedeme 100 km/h na m/s:

100 km/h = 100 3,6 m/s ≈ 27,8 m/s.

Porsche 911 Turbo S

ap = 27,8 − 0 2,5 ≈ 11,1 m/s²

Škoda Fabia 1.0 MPI

ap = 27,8 − 0 15,7 ≈ 1,8 m/s²

Porsche má při rozjezdu z 0 na 100 km/h přibližně šestinásobné průměrné zrychlení oproti této verzi Fabie.

Jde o průměrné zrychlení během celého rozjezdu. Neznamená to, že okamžité zrychlení automobilu mělo po celou dobu právě tuto hodnotu.

Jednotka zrychlení

Zrychlení počítáme jako změnu rychlosti dělenou časem:

a = Δv Δt .

Rychlost měříme v m/s a čas v sekundách. Jednotkou zrychlení je proto:

m/s²

Její význam si můžeme představit velmi jednoduše.

Při přímočarém pohybu s konstantním zrychlením 2 m/s² se rychlost každou sekundu změní o 2 m/s.

Jak se rychlost mění každou sekundu?

Zrychlení: a = 2,0 m/s²

Těleso začíná z klidu. Délka šipky představuje velikost jeho rychlosti.

Například při a = 2 m/s² se rychlost mění:

0 → 2 → 4 → 6 → 8 m/s …

Pozor: neznamená to, že těleso každou sekundu urazí o 2 m více. O 2 m/s se každou sekundu mění rychlost.

Průměrné zrychlení z grafu

U skutečného pohybu se rychlost nemusí měnit rovnoměrně. Její závislost na čase může vypadat například takto:

Zvolte časový interval

Začátek: t1 = 1,0 s
Konec: t2 = 4,0 s

Průměrné zrychlení nám říká, jak se rychlost změnila v celém zvoleném časovém intervalu.

Od průměrného k okamžitému zrychlení

Předchozí výpočet závisí na tom, jak velký časový interval zvolíme.

Co když nás ale zajímá, jaké zrychlení má automobil právě v určitém okamžiku?

Čím kratší časový interval kolem zvoleného okamžiku použijeme, tím více se průměrné zrychlení přibližuje okamžitému zrychlení.

Je to stejná myšlenka, jakou jsme použili při přechodu od průměrné k okamžité rychlosti.

Okamžité zrychlení tedy popisuje, jak se rychlost mění právě v daném okamžiku.

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

Nejjednodušší situace nastane, když se zrychlení v průběhu času nemění.

Při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu je zrychlení konstantní. Za stejné časové intervaly se rychlost mění o stejné hodnoty.

Začne-li těleso z klidu, tedy v0 = 0, platí:

a = v t

a odtud:

v = at

Rychlost se tedy s časem zvětšuje lineárně.

Graf rychlosti v závislosti na čase

Co když těleso v okamžiku, kdy začneme měřit čas, už nějakou rychlost má?

Označme ji v0. Potom platí:

v = v0 + at

Měňte zrychlení a počáteční rychlost

a = 1,0 m/s²
v0 = 0 m/s
V grafu v(t) je při konstantním zrychlení přímka.

Její směrnice udává zrychlení.

Hodnota v0 určuje místo, kde přímka protíná svislou osu.

Rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb

Při brzdění se velikost rychlosti zmenšuje. Vektor zrychlení přitom míří proti vektoru rychlosti.

Pokud jsme kladný směr osy zvolili ve směru pohybu, je zrychlení při zpomalování záporné.

Nemusíme ale zavádět nový vztah. Stále platí:

v = v0 + at

Pouze dosadíme zápornou hodnotu zrychlení.

Zrychlování a zpomalování v grafu

Záporné zrychlení samo o sobě neznamená zpomalování. Znaménko zrychlení závisí na tom, který směr jsme zvolili jako kladný. O tom, zda se velikost rychlosti zvětšuje nebo zmenšuje, rozhoduje vzájemný směr vektoru rychlosti a vektoru zrychlení.

Jaké je zrychlení brzdícího vlaku?

Rychlík jede rychlostí 108 km/h a rovnoměrně zastaví za 1 minutu.

Určete jeho zrychlení, pokud kladný směr zvolíme ve směru původní jízdy vlaku.

Zobrazit řešení

Nejdříve převedeme rychlost:

108 km/h = 108 3,6 m/s = 30 m/s.

Počáteční a konečná rychlost jsou:

v0 = 30 m/s,    v = 0 m/s.

Doba brzdění:

Δt = 60 s.

Zrychlení:

a = v − v0 Δt
a = 0 − 30 60 = −0,5 m/s².

Záporné znaménko znamená, že zrychlení míří proti zvolenému kladnému směru, tedy proti směru jízdy vlaku.

Velikost zrychlení je 0,5 m/s².

Co si z kapitoly odnést

  • Zrychlení popisuje, jak se rychlost mění s časem.
  • Průměrné zrychlení určíme jako změnu rychlosti dělenou příslušným časovým intervalem.
  • Jednotkou zrychlení je m/s².
  • Zrychlení 1 m/s² znamená, že se při přímočarém pohybu s konstantním zrychlením rychlost každou sekundu změní o 1 m/s.
  • Okamžité zrychlení popisuje změnu rychlosti v daném okamžiku.
  • Při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu je zrychlení konstantní.
  • Pro konstantní zrychlení platí v = v0 + at .
  • Směrnice grafu v(t) udává zrychlení.
  • Při přímočarém pohybu se velikost rychlosti zvětšuje, pokud v a a míří stejným směrem.
  • Velikost rychlosti se zmenšuje, pokud v a a míří opačnými směry.

Časté omyly

  • „Zrychlení znamená, že se těleso pohybuje rychle.“ Ne. Zrychlení nepopisuje velikost rychlosti, ale její změnu s časem.
  • „Zrychlení znamená pouze zvětšování rychlosti.“ Ne. Zrychlení může mířit také proti rychlosti, a velikost rychlosti se potom zmenšuje.
  • „Když má těleso nulovou rychlost, musí mít nulové zrychlení.“ Ne. V určitém okamžiku může být rychlost nulová a zrychlení přitom nenulové.
  • „Když se velikost rychlosti nemění, je zrychlení vždy nulové.“ Ne. Pokud se mění směr vektoru rychlosti, je zrychlení nenulové.
  • „Záporné zrychlení vždy znamená zpomalování.“ Ne. Znaménko zrychlení závisí na volbě kladného směru. Pro zpomalování je podstatné, že zrychlení míří proti rychlosti.
  • „2 m/s² znamená, že těleso každou sekundu urazí o 2 m více.“ Ne. Znamená to, že se při konstantním zrychlení jeho rychlost každou sekundu změní o 2 m/s.
  • „Průměrné zrychlení auta 5 m/s² znamená, že mělo po celou dobu zrychlení 5 m/s².“ Ne. Okamžité zrychlení se během daného intervalu mohlo měnit.

Otázky na závěr

1. Co fyzikálně popisuje zrychlení?

Zrychlení popisuje, jak se s časem mění vektor rychlosti tělesa.

Při přímočarém pohybu může například popisovat, jak rychle se velikost rychlosti zvětšuje nebo zmenšuje.

2. Automobil se pohybuje po přímce a zrychluje. Jaký je vzájemný směr vektoru rychlosti a vektoru zrychlení?

Pokud se velikost rychlosti zvětšuje, vektor zrychlení míří stejným směrem jako vektor rychlosti.

3. Automobil se pohybuje po přímce a zpomaluje. Jaký je vzájemný směr vektoru rychlosti a vektoru zrychlení?

Pokud se velikost rychlosti zmenšuje, vektor zrychlení míří opačným směrem než vektor rychlosti.

4. Rychlost tělesa se během 4 s zvětší z 3 m/s na 11 m/s. Jaké je jeho průměrné zrychlení?

Změna rychlosti:

Δv = 11 − 3 = 8 m/s.

Průměrné zrychlení:

ap = 8 4 = 2 m/s².
5. Jaký je rozdíl mezi průměrným a okamžitým zrychlením?

Průměrné zrychlení popisuje změnu rychlosti během určitého časového intervalu.

Okamžité zrychlení popisuje změnu rychlosti v daném okamžiku.

Čím kratší interval kolem daného okamžiku zvolíme, tím více se průměrné zrychlení přibližuje okamžitému zrychlení.

6. Těleso se rozjíždí z klidu s konstantním zrychlením 3 m/s². Jakou rychlost má po 4 s?

Protože v0 = 0, platí:

v = at.

Po dosazení:

v = 3 · 4 = 12 m/s.
7. Těleso má počáteční rychlost 5 m/s a konstantní zrychlení 2 m/s² ve směru rychlosti. Jakou rychlost má po 3 s?

Použijeme vztah:

v = v0 + at.

Po dosazení:

v = 5 + 2 · 3 = 11 m/s.
8. Co udává směrnice přímky v grafu závislosti rychlosti v na čase t při pohybu s konstantním zrychlením?

Směrnice přímky udává zrychlení:

a = Δv Δt .
9. Může mít těleso v určitém okamžiku nulovou rychlost a současně nenulové zrychlení?

Ano. Nulová okamžitá rychlost neznamená, že se rychlost právě nemění.

Příkladem je těleso vyhozené svisle vzhůru. V nejvyšším bodě je jeho okamžitá rychlost nulová, ale stále má gravitační zrychlení směrem dolů.

Slovníček

zrychlení acceleration
průměrné zrychlení average acceleration
okamžité zrychlení instantaneous acceleration
rovnoměrně zrychlený pohyb uniformly accelerated motion
rovnoměrně zpomalený pohyb uniformly decelerated motion
počáteční rychlost initial velocity
změna rychlosti change in velocity

Zdroje

Bugatti: 0–400–0 km/h in 42 seconds: Bugatti Chiron sets world record.

Bugatti: video Bugatti Chiron 0–400–0 km/h.

Porsche: technické údaje modelu 911 Turbo S.

Škoda Auto: technické údaje modelu Fabia 1.0 MPI 59 kW.