Rezistor II
Večer, kdy nesmělo zhasnout celé divadlo
Roku 1881 zachvátily požáry několik evropských divadel — mezi nimi i Národní divadlo v Praze a vídeňský Ringtheater. Když se v Brně dokončovalo nové Městské divadlo Na hradbách, dnešní Mahenovo divadlo, rozhodli se proto stavitelé nahradit plánované plynové osvětlení tehdy ještě neobvyklými elektrickými žárovkami.
Dne 14. listopadu 1882 se budova slavnostně otevřela jako první evropské divadlo plně osvětlené Edisonovými žárovkami. Elektřinu pro ně vyráběla vlastní parní elektrárna a do divadla ji vedly kabely dlouhé téměř 300 metrů.
Nové osvětlení však muselo splnit ještě jednu důležitou podmínku: když jedna žárovka praskne, ostatní mají svítit dál. Kdyby proud procházel postupně jednou žárovkou za druhou, prasknutím jediné by se jeho jediná cesta přerušila a zhasly by všechny. Jak tedy vytvořit obvod, v němž má každá žárovka vlastní cestu ke zdroji?
Krátké video: Edisonovo světlo v Mahenově divadle
Dvouminutová reportáž ČT24 připomíná, proč je Mahenovo divadlo spojeno s Edisonem a elektrickým osvětlením.
Takovému uspořádání říkáme paralelní zapojení. Žárovky jsou připojeny ke stejným dvěma vodičům, ale každá leží ve vlastní větvi. Rozpojení jedné větve proto nepřeruší cestu proudu v ostatních.
Stejně jsou zapojeny také spotřebiče v domácnosti. Každý má dostat celé síťové napětí a musí jej být možné zapnout, vypnout nebo odpojit, aniž by přestaly fungovat ostatní. Proto zhasnutí jedné lampy nevypne lednici ani počítač.
Žárovka nebo domácí spotřebič není běžný rezistor, ale elektrickému proudu také klade odpor. Nyní stejným způsobem připojíme mezi dva společné body několik rezistorů a zjistíme, jaký odpor má celé jejich zapojení.
Co se stane s ostatními spotřebiči, když jednu větev rozpojíme?
Jak lze výsledný odpor zmenšit?
V minulé kapitole jsme rezistory řadili za sebe. Tím vznikla jediná cesta proudu a výsledný odpor se zvětšil. Chceme-li naopak získat odpor menší, vytvoříme proudu další cestu: rezistory zapojíme paralelně.
Jediná cesta
Dvě cesty
Co je v paralelním zapojení stejné a co se rozděluje?
Každý elektron projde právě jednou z větví. Za jednotku času proto do rozvětvení přiteče stejné množství náboje, jaké z jednotlivých větví dohromady odteče:
I = I1 + I2 + I3Všechny větve mají společný začátek i konec. Rozdíl elektrických potenciálů mezi těmito dvěma body je proto pro každou větev stejný:
U = U1 = U2 = U3Paralela s řekou
Proud: řeka se může rozdělit do několika ramen. Celkový průtok před rozdělením je součtem průtoků v jednotlivých ramenech. Širším či snáze průchodným ramenem obvykle protéká více vody; podobně větví s menším odporem prochází větší elektrický proud.
Napětí: všechna ramena začínají ve stejném místě a znovu se spojují ve stejném místě. Překonávají tedy stejný výškový rozdíl. Podobně je mezi začátkem a koncem každé elektrické větve stejné napětí.
Meze přirovnání: odpor rezistoru není určen jen „šířkou cesty“ a elektrony si v uzlu vědomě nevybírají snazší větev. Rozdělení proudu vyplývá ze stejného napětí na větvích a z jejich odporů.
Odvození výsledného odporu
Nepotřebujeme nový zákon. Stačí spojit dvě právě zjištěné skutečnosti s Ohmovým zákonem:
- Celkový proud je součtem proudů ve větvích.
- Na každé větvi je stejné napětí U.
- Pro každou větev platí Ik = U/Rk.
Napětí U je ve všech členech stejné a není nulové, proto jím rovnici vydělíme:
U paralelního zapojení se sčítají převrácené hodnoty odporů. Vztah není třeba slepě memorovat: lze jej znovu odvodit ze stejného napětí a součtu proudů.
Užitečné zvláštní případy
Pro dva rezistory lze vztah upravit na R = R1R2/(R1 + R2). Pro n stejných rezistorů o odporu R0 platí R = R0/n.
Proč je výsledný odpor menší než nejmenší odpor?
Při stejném napětí teče po přidání další větve další proud. Zdroj tedy dodává větší celkový proud. Z poměru R = U/I pak vychází menší výsledný odpor.
Řešené příklady
1. Dva rezistory paralelně
Rezistory 6 Ω a 3 Ω jsou zapojeny paralelně. Určete výsledný odpor.
Postup a výsledek
Výsledek 2 Ω je menší než oba dílčí odpory, jak očekáváme.
2. Proud v jednotlivých větvích
Rezistory 60 Ω a 30 Ω jsou paralelně připojeny k napětí 12 V. Určete proudy ve větvích a celkový proud.
Postup a výsledek
I1 = 12/60 A = 0,20 A; I2 = 12/30 A = 0,40 A. Celkem I = 0,60 A. Menším odporem prochází větší proud.
3. Kombinované zapojení
Rezistor 4 Ω je zapojen sériově s paralelní dvojicí 6 Ω a 3 Ω. Určete výsledný odpor.
Postup a výsledek
Nejprve nahradíme paralelní dvojici odporem 2 Ω. Ten je sériově se 4 Ω:
R = 4 Ω + 2 Ω = 6 ΩU složeného obvodu postupujeme od nejvnitřnějších jednoduchých skupin směrem ven.
Procvičení
Aktivita: sestavte daný odpor
Každá skupina dostane několik rezistorů. Úkolem je bez proměnného rezistoru sestavit z dostupných hodnot odpor co nejbližší zadané hodnotě. Nejdříve zapojení navrhněte a vypočítejte, potom je sestavte a ověřte multimetrem.
Poznámka pro učitele
Dobře fungují sady například 100 Ω, 220 Ω, 330 Ω, 470 Ω a 1 kΩ. Skupinám lze zadat různé cíle a na závěr porovnat několik správných řešení i odchylku skutečných hodnot danou tolerancí rezistorů.
Praxe
Domovní elektroinstalace
Spotřebiče jsou připojeny paralelně, aby měl každý stejné síťové napětí a mohl být zapnut či vypnut nezávisle na ostatních.
Získání neobvyklé hodnoty
Nemáme-li požadovaný rezistor, můžeme jej sestavit z běžných hodnot. Paralelním spojením lze získat odpor menší než kterýkoli použitý rezistor.
Rozdělení proudu a výkonu
Paralelní rezistory mohou rozdělit proud a tepelnou zátěž mezi více součástek. V praxi je však nutné respektovat toleranci, dovolený výkon i změnu odporu s teplotou.
Časté omyly
- „Proud si vybere jen cestu nejmenšího odporu.“ Proud prochází všemi uzavřenými větvemi; menším odporem pouze prochází větší část proudu.
- „Při paralelním zapojení se rozdělí napětí.“ Větve jsou mezi stejnými dvěma uzly, a proto je na nich stejné napětí.
- „Další rezistor vždy zvětší celkový odpor.“ Sériově ano, paralelně další větev výsledný odpor zmenší.
- „Dva rezistory 10 Ω paralelně dají 20 Ω.“ Dva stejné paralelní rezistory mají poloviční výsledný odpor, tedy 5 Ω.
- „Vztah stačí dosadit bez kontroly.“ Výsledek paralelního spojení musí být menší než nejmenší dílčí odpor.
Shrnutí rezistorů
| Sériové zapojení | Paralelní zapojení | |
|---|---|---|
| Proud | ve všech prvcích stejný | rozdělí se do větví; dílčí proudy se sčítají |
| Napětí | rozdělí se mezi prvky; úbytky se sčítají | na všech větvích stejné |
| Výsledný odpor | R = R1 + R2 + … | 1/R = 1/R1 + 1/R2 + … |
| Kontrola | větší než největší dílčí odpor | menší než nejmenší dílčí odpor |
Vztahy nepatří jen k zapamatování. Sériový vztah odvodíme ze stejného proudu a součtu napětí; paralelní vztah ze stejného napětí a součtu proudů.
Česko-anglický slovníček
- paralelní zapojení
- parallel connection
- větev obvodu
- circuit branch
- uzel
- junction / node
- celkový proud
- total current
- proud ve větvi
- branch current
- výsledný odpor
- equivalent resistance
- rozvětvený obvod
- branched circuit
- domovní elektroinstalace
- household wiring
- sériově-paralelní obvod
- series-parallel circuit
- rozpojená větev
- open branch