Rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb

Jak pozdě může raketa začít brzdit?

První stupeň rakety Falcon 9 se po splnění svého úkolu může vrátit zpět k Zemi. V závěrečné části sestupu musí zmenšit svou rychlost tak, aby mohl bezpečně dosednout.

Před spuštěním videa:
Sledujte poslední část přistání. Kdyby raketa začala brzdit příliš pozdě, je jasné, co by se stalo. Ale co kdyby začala brzdit příliš brzy?

SpaceX – přistání prvního stupně Falconu 9, 21. prosince 2015.

Aby raketa dosedla správně, nestačí znát její rychlost. Je potřeba vědět také, jakou dráhu při brzdění urazí.

Představme si zjednodušený model: raketa má určitou počáteční rychlost a od okamžiku zapnutí motoru se pohybuje s konstantním zrychlením opačným ke směru pohybu. Dokážeme určit, jakou dráhu potřebuje k zastavení?

Skutečný návrat Falconu 9 je samozřejmě složitější: zrychlení není konstantní a na raketu působí také gravitace a odpor atmosféry. Model s konstantním zrychlením nám ale umožní pochopit základní vztah mezi rychlostí, zrychlením, časem a dráhou.

Co už víme?

V minulé kapitole jsme zjistili, že při přímočarém pohybu s konstantním zrychlením platí

v = v₀ + at.

Dokážeme tedy určit, jakou rychlost bude těleso mít po určité době.

Teď chceme odpovědět na jinou otázku:

Jakou dráhu těleso při rovnoměrně zrychleném nebo zpomaleném pohybu urazí?

Dráha se skrývá pod grafem rychlosti

Začněme něčím, co už známe. Při rovnoměrném pohybu je rychlost konstantní.

s = vt

V grafu závislosti rychlosti na čase je rychlost znázorněna vodorovnou přímkou. Součin vt je přitom obsah obdélníku pod grafem.

Rovnoměrný pohyb

Obsah obdélníku: s = vt .

Plocha pod grafem v(t) odpovídá uražené dráze.

Můžeme tuto myšlenku použít i tehdy, když se rychlost mění?

Když se rychlost zvětšuje

Uvažujme těleso, které začíná z klidu a má konstantní zrychlení. Jeho rychlost roste podle vztahu

v = at.

Grafem je přímka. Dráhu můžeme nejprve přibližně určit tak, že pohyb rozdělíme na krátké časové intervaly. V každém intervalu použijeme rychlost odpovídající jeho středu.

Rozdělte pohyb na kratší intervaly

Počet intervalů: 4

Výška každého obdélníku odpovídá rychlosti uprostřed daného časového intervalu. Proto přímka prochází středem horní hrany každého obdélníku.

V tomto případě je graf rychlosti přímka, a proto tento postup dává přesnou plochu už při libovolném počtu stejně širokých intervalů. U obecnějšího průběhu rychlosti by šlo o přiblížení, které se zpřesňuje zkracováním intervalů.

Zde ale nic složitého počítat nemusíme. Celá plocha pod přímkou má totiž tvar trojúhelníku.

Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Těleso začíná z klidu. Po čase t má rychlost v.

Plocha pod grafem v(t) je trojúhelník se základnou t a výškou v.

s = vt 2

Z minulé kapitoly ale víme, že

v = at.

Dosadíme:

s = (at)t 2 .

Dostáváme:

s = 1 2 at²

Při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu z klidu je dráha úměrná druhé mocnině času.

Co udělá druhá mocnina času?

Zvolme jednoduchý příklad:

a = 2 m/s².

Potom

s = 1 2 · 2 · t² = t².

t [s]	s [m]
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25

Graf dráhy

Zrychlení: a = 4,0 m/s²

Pro zvolené zrychlení: s = 2t²

Porovnejte:
Když čas zdvojnásobíme, zdvojnásobí se také dráha?

Zobrazit odpověď

Ne. Protože s ∼ t², při dvojnásobném čase je dráha čtyřnásobná.

Při trojnásobném čase je dráha devítinásobná.

Co když těleso nezačíná z klidu?

Těleso může mít na začátku měření nenulovou rychlost v₀.

Potom platí:

v = v₀ + at.

Plochu pod grafem můžeme rozdělit na dvě části:

obdélník o obsahu v₀t,
trojúhelník o obsahu ½at².

Obdélník + trojúhelník

Sečtením obou částí získáme:

s = v₀t + 1 2 at²

Rovnoměrně zpomalený pohyb

Stejný vztah můžeme použít také při zpomalování.

Zvolíme-li kladný směr ve směru pohybu, má zrychlení při brzdění zápornou hodnotu.

s = v₀t + 1 2 at²

Protože při zpomalování je a < 0, druhý člen dráhu zmenšuje.

Stejně tak stále platí

v = v₀ + at.

Nemusíme se tedy učit zvláštní vzorce pro zrychlování a zpomalování. Rozhodující je správně pracovat se znaménkem zrychlení.

Jeden pohyb, tři různé grafy

Pro pohyb s konstantním zrychlením vypadají závislosti zrychlení, rychlosti a dráhy na čase velmi odlišně.

Zrychlení: a = 2,0 m/s²

Zrychlení a(t)

Rychlost v(t)

Dráha s(t)

Při konstantním zrychlení:

a(t) je konstanta,
v(t) je lineární funkce,
s(t) je kvadratická funkce.

Stihne auto zpomalit před obcí?

Automobil jede rychlostí 72 km/h. Ve vzdálenosti 30 m před začátkem obce začne rovnoměrně brzdit.

Velikost jeho zrychlení při brzdění je 4 m/s².

Na začátku obce smí jet nejvýše 50 km/h. Stihne automobil zpomalit včas? A jakou dráhu potřebuje k úplnému zastavení?

začátek obce

t = 0,0 s, v = 72,0 km/h, s = 0,0 m

1. Stihne zpomalit na 50 km/h před obcí?

Nejdříve převedeme rychlosti:

72 km/h = 20 m/s

50 km/h ≈ 13,9 m/s.

Kladný směr jsme zvolili ve směru jízdy, proto

a = −4 m/s².

Ze vztahu

v = v₀ + at

dostaneme:

13,9 = 20 − 4t.

Odtud

t ≈ 1,53 s.

Za tuto dobu automobil urazí:

s = 20 · 1,53 + 1 2 · (−4) · 1,53² ≈ 25,9 m.

Značka je vzdálená 30 m, takže automobil rychlosti 50 km/h dosáhne ještě před začátkem obce.

2. Kde automobil úplně zastaví?

Při zastavení je v = 0.

0 = 20 − 4t

tedy

t = 5 s.

Za tuto dobu urazí:

s = 20 · 5 + 1 2 · (−4) · 5²

s = 100 − 50 = 50 m.

Automobil tedy zastaví 20 m za začátkem obce.

Co si z kapitoly odnést

Plocha pod grafem v(t) odpovídá uražené dráze.
Při pohybu z klidu s konstantním zrychlením platí s = ½at² .
Dráha při tomto pohybu roste s druhou mocninou času.
Při nenulové počáteční rychlosti platí s = v₀t + ½at² .
Pro rychlost stále platí v = v₀ + at .
Při zpomalování můžeme používat stejné vztahy; při kladném směru zvoleném ve směru pohybu je a záporné.
Při konstantním zrychlení je graf v(t) přímka, zatímco graf s(t) je parabola.

Časté omyly

„Při rovnoměrně zrychleném pohybu roste dráha rovnoměrně.“ Ne. Rovnoměrně se mění rychlost. Dráha při pohybu z klidu roste jako t².
„Když je čas dvakrát větší, je dráha dvakrát větší.“ Ne při pohybu z klidu s konstantním zrychlením. Dvojnásobný čas znamená čtyřnásobnou dráhu.
„Vzorec s = ½at² platí vždy.“ Ne. V této podobě předpokládá nulovou počáteční rychlost.
„Při brzdění musíme použít úplně jiný vzorec.“ Ne. Můžeme používat stejné obecné vztahy a pracovat se znaménkem zrychlení.
„Plocha pod grafem v(t) je zrychlení.“ Ne. Plocha pod grafem rychlosti odpovídá dráze. Zrychlení souvisí se směrnicí grafu v(t).
„Skutečné auto nebo raketa se při brzdění vždy pohybuje s konstantním zrychlením.“ Ne. Konstantní zrychlení je model. Ve skutečnosti se zrychlení zpravidla mění.

Otázky na závěr

1. Co představuje plocha pod grafem rychlosti v závislosti na čase?

Odpovídá uražené dráze (pokud je rychlost v uvažovaném směru nezáporná).

2. Jakou dráhu urazí těleso, které se 4 s pohybuje z klidu s konstantním zrychlením 2 m/s²?

s = ½at² = ½ · 2 · 4² = 16 m.

3. Jakou rychlost má stejné těleso po 4 s?

v = at = 2 · 4 = 8 m/s.

4. Těleso se pohybuje z klidu s konstantním zrychlením. Co se stane s uraženou dráhou, když dobu pohybu zdvojnásobíme?

Protože s ∼ t², dráha bude čtyřnásobná.

5. Proč je graf s(t) při konstantním zrychlení parabola?

Protože dráha závisí na druhé mocnině času:

s = v₀t + ½at².

Jde tedy o kvadratickou funkci času.

6. Těleso má počáteční rychlost 3 m/s a zrychlení 2 m/s². Jakou dráhu urazí za 4 s?

s = v₀t + ½at²

s = 3 · 4 + ½ · 2 · 4² = 12 + 16 = 28 m.

7. Jak se v grafu v(t) projeví konstantní zrychlení?

Grafem je přímka. Její směrnice udává zrychlení.

8. Proč nelze skutečné přistání Falconu 9 přesně popsat jediným konstantním zrychlením?

Skutečný pohyb je složitější. Tah motoru a další působící síly se během sestupu mění, na raketu působí gravitace a v atmosféře také odpor vzduchu. Konstantní zrychlení je proto pouze zjednodušený fyzikální model.

Slovníček

rovnoměrně zrychlený pohyb uniformly accelerated motion

rovnoměrně zpomalený pohyb uniformly decelerated motion

počáteční rychlost initial velocity

konstantní zrychlení constant acceleration

brzdná dráha braking distance

plocha pod grafem area under the graph

Zdroje

SpaceX: Falcon 9 First Stage Landing – From Helicopter, video z přistání 21. prosince 2015.

SpaceX: Falcon 9 – technický přehled rakety, prvního stupně, motorů a systému návratu.

SpaceX: Mission – Reusability and Landing.