Rovnoměrný přímočarý pohyb
Schody, které vyděsily zákazníky
Představte si, že jste nikdy neviděli eskalátor. Vstoupíte do obchodního domu a před vámi se objeví schody, které se samy pohybují. Máte na ně jednoduše nastoupit, nechat se vyvézt nahoru – a ve správný okamžik zase vystoupit.
Dnes nad tím téměř nepřemýšlíme. Na konci 19. století ale byly pohyblivé schody technologickou novinkou a zároveň atrakcí.
Od atrakce k běžné součásti měst
V roce 1896 předvedl americký vynálezce Jesse W. Reno svůj šikmý pohyblivý pás na Coney Islandu v New Yorku. Během pouhých dvou týdnů se na něm svezly desítky tisíc lidí.
O dva roky později se podobné zařízení objevilo v londýnském obchodním domě Harrods. Tehdejší „moving staircase“ ještě nebyla dnešním schodištěm – připomínala spíše šikmý pohyblivý pás.
Jak se zrodil eskalátor?
Krátké video připomíná počátky eskalátorů a cestu od technické atrakce k běžné součásti obchodních domů, nádraží a metra.
Almanac: The origin of escalators
Když na jeho schodu pouze stojíme, schod nás unáší stále dál. Jak bychom mohli zjistit, zda se pohybujeme rovnoměrně?
Stejné dráhy za stejné časy
Představme si, že sledujeme jeden bod na pohybujícím se schodu. Jeho polohu vyfotografujeme vždy přesně po jedné sekundě.
Na jednom obrázku pak zobrazíme všechny zaznamenané polohy. Takový způsob záznamu nám umožní přímo porovnat, jakou dráhu těleso během jednotlivých sekund urazilo.
Fotografie pohybu každou sekundu
Spusťte pohyb. Každou sekundu zůstane na dráze značka v místě, kde se těleso právě nacházelo.
Podívejte se na vzdálenosti mezi sousedními značkami. Jsou stále stejné.
To znamená, že těleso například během první sekundy urazilo stejnou dráhu jako během druhé, třetí nebo čtvrté sekundy.
Pokud je navíc trajektorií tělesa přímka, mluvíme o rovnoměrném přímočarém pohybu.
Od pohybu k číslům
Uvažujme jednoduchý rovnoměrný pohyb, při kterém těleso urazí každou sekundu 0,4 m.
Naměřené hodnoty můžeme zapsat do tabulky:
| t [s] | s [m] |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0,4 |
| 2 | 0,8 |
| 3 | 1,2 |
Za každou další sekundu se uražená dráha zvětší přesně o 0,4 m.
Stejná data můžeme zobrazit také v grafu.
Tabulka → graf
Jak souvisí dráha, rychlost a čas?
V předchozí kapitole jsme zavedli rychlost. U rovnoměrného pohybu se její velikost nemění.
Na libovolném časovém intervalu proto dostaneme stejnou hodnotu:
V nejjednodušším případě začneme měřit čas v okamžiku, kdy je uražená dráha nulová:
Ze vztahu pro rychlost potom získáme:
Dráha rovnoměrného pohybu je tedy přímo úměrná času.
Dvojnásobný čas znamená dvojnásobnou dráhu, trojnásobný čas trojnásobnou dráhu.
Čím je přímka strmější, tím větší je rychlost.
Co udělá s grafem jiná rychlost?
Vyzkoušejte, jak se graf změní, když se těleso pohybuje rychleji nebo pomaleji.
Rychlejší těleso urazí za stejný čas větší dráhu. Proto je jeho přímka v grafu strmější.
Co když nezačínáme v nule?
Dosud jsme předpokládali, že v okamžiku t = 0 je těleso v počátku.
To ale není nutné. V okamžiku, kdy spustíme stopky, může být těleso například už 10 metrů od zvoleného počátku.
Tuto počáteční hodnotu označíme s0.
Vyzkoušejte počáteční hodnotu
Změna rychlosti v mění její směrnici.
Kdy Karel dohoní Jirku?
Jirka se pohybuje rychlostí 1 m/s. V okamžiku, kdy začneme měřit čas, je 100 m od zvoleného počátku.
Karel vyrazí ze zvoleného počátku ve stejném směru rychlostí 5 m/s.
Než spustíte animaci, zkuste si výsledek odhadnout.
Řešení výpočtem
Pro Jirku platí:
Pro Karla:
V okamžiku setkání jsou oba ve stejném čase na stejném místě. Proto:
Karel za tuto dobu urazí:
Průsečík znamená: ve stejném čase mají obě tělesa stejnou polohu.
Rychlost můžeme určit i z měření
Ve skutečném experimentu nebudou naměřené body ležet přesně na přímce. Měření totiž vždy obsahuje určitou nejistotu.
Naměřenými body proto můžeme proložit přímku – provést lineární fit.
Určete rychlost z experimentálních dat
Rovnici přímky známe z matematiky:
Pro rovnoměrný pohyb píšeme:
| Matematika | Fyzikální význam |
|---|---|
| x | čas t |
| y | hodnota s |
| a | rychlost v |
| b | počáteční hodnota s0 |
Co si z kapitoly odnést
- Při rovnoměrném pohybu urazí hmotný bod za stejné časové intervaly stejné dráhy.
- Je-li jeho trajektorií přímka, jde o rovnoměrný přímočarý pohyb.
- Velikost rychlosti je při rovnoměrném pohybu konstantní.
- Začíná-li pohyb v počátku, platí s = vt.
- Při nenulové počáteční hodnotě použijeme vztah s = s0 + vt .
- Graf závislosti s(t) je přímka.
- Směrnice přímky udává velikost rychlosti.
- Průsečík grafů dvou těles znamená, že jsou ve stejném okamžiku na stejném místě.
- Rychlost lze z experimentálních dat určit pomocí lineárního fitu.
Časté omyly
- „Rovnoměrný pohyb znamená, že těleso urazí každou sekundu jeden metr.“ Ne. Za stejné časové intervaly musí urazit stejné dráhy, ale může to být například 0,2 m, 5 m nebo 100 m za sekundu.
- „Každý pohyb stálou velikostí rychlosti je rovnoměrný přímočarý pohyb.“ Ne. Pro přímočarý pohyb musí být trajektorií navíc přímka.
- „Graf s(t) ukazuje tvar trajektorie.“ Ne. Graf zobrazuje, jak se hodnota s mění s časem, nikoli skutečný tvar trajektorie v prostoru.
- „Čím výše je přímka v grafu, tím větší je rychlost.“ Ne. O velikosti rychlosti rozhoduje směrnice, tedy strmost přímky.
- „Když se dvě přímky v grafu protnou, mají tělesa stejnou rychlost.“ Ne. V průsečíku mají ve stejném okamžiku stejnou polohu. Jejich rychlosti mohou být různé.
Otázky na závěr
1. Jak poznáme, že se hmotný bod pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem?
Jeho trajektorií je přímka a za stejné časové intervaly urazí stejné dráhy.
Velikost jeho rychlosti se tedy v čase nemění.
2. Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí 3 m/s. Jakou dráhu urazí za 8 s?
Pro rovnoměrný pohyb platí:
Po dosazení:
Hmotný bod tedy za 8 s urazí dráhu 24 m.
3. V čase t = 0 je hmotný bod ve vzdálenosti 5 m od zvoleného počátku. Pohybuje se od počátku rovnoměrně přímočaře rychlostí 2 m/s. V jaké vzdálenosti od počátku bude za 4 s?
Protože hmotný bod nezačíná ve zvoleném počátku, použijeme vztah:
Po dosazení:
Po 4 s bude hmotný bod ve vzdálenosti 13 m od zvoleného počátku.
4. Co udává směrnice přímky v grafu závislosti s na t pro rovnoměrný přímočarý pohyb?
Směrnice přímky udává velikost rychlosti.
Čím větší je směrnice přímky, tím větší je velikost rychlosti hmotného bodu.
5. Dva hmotné body se pohybují po stejné přímce. Co znamená průsečík jejich grafů závislosti polohy na čase?
Souřadnice průsečíku určují čas a místo jejich setkání.
V tomto okamžiku mají oba hmotné body stejnou polohu ve stejném čase. Průsečík však neznamená, že mají stejnou rychlost.
6. Jaký fyzikální význam mají veličiny v a s₀ ve vztahu s = s₀ + vt?
v je velikost rychlosti rovnoměrného pohybu. V grafu závislosti s na t určuje směrnici přímky.
s0 je hodnota s v počátečním okamžiku t = 0. V grafu určuje místo, kde přímka protíná svislou osu.
7. Dva hmotné body se pohybují po stejné přímce stejným směrem rychlostmi 2 m/s a 4 m/s. Rychlejší je na začátku 12 m za pomalejším. Za jak dlouho jej dohoní?
Za každou sekundu urazí rychlejší hmotný bod o 2 m více než pomalejší:
Počáteční vzdálenost 12 m tedy zmenšuje o 2 m každou sekundu:
Rychlejší hmotný bod tedy pomalejší dohoní za 6 s.
Za tuto dobu urazí rychlejší hmotný bod 24 m a pomalejší 12 m. Jejich počáteční vzdálenost byla právě 12 m, takže se v tomto okamžiku setkají.
8. Naměřené body v grafu s(t) neleží přesně na přímce. Jak z nich můžeme určit rychlost rovnoměrného pohybu?
Naměřenými body proložíme pomocí lineárního fitu přímku.
Její rovnici můžeme zapsat ve tvaru:
Směrnice fitované přímky odpovídá velikosti rychlosti v a její průsečík se svislou osou odpovídá počáteční hodnotě s0.
Slovníček
Zdroje
Almanac: The origin of escalators. YouTube
London Museum: A history of Harrods. London Museum
Smithsonian Magazine: How the Escalator Forever Changed Our Sense of Space. Smithsonian Magazine