Rychlost molekul plynu a tlak plynu na stěnu nádoby
Co dokáže „prázdný“ vzduch?
Vzduch kolem nás téměř nevnímáme. Přesto na každý povrch působí atmosférickým tlakem – a když tlak uvnitř nádoby dostatečně snížíme, okolní vzduch dokáže pevnou kovovou nádobu během okamžiku zmačkat.
Po ochlazení páry uvnitř sudu tlak výrazně klesne. Vnější atmosférický tlak pak nádobu zmačká.
Molekuly vzduchu se při pokojové teplotě pohybují rychlostmi řádově stovek metrů za sekundu. Nepohybují se ale všechny stejně rychle a jejich rychlosti se při srážkách neustále mění. Než tedy vysvětlíme tlak plynu, musíme zjistit dvě věci: jak rychle se molekuly pohybují a jak lze něco takového vůbec změřit?
Jak vůbec zjistit rychlost molekul?
Molekulu nemůžeme označit a změřit stopkami dobu jejího letu. Lammert proto v roce 1929 použil velmi chytrý mechanický rychlostní filtr: dva rotující kotouče s úzkými radiálními štěrbinami.
Lammertův rychlostní filtr
Molekula, která právě proletí štěrbinou prvního kotouče, potřebuje k překonání vzdálenosti d dobu τ. Během této doby se kotouče pootočí. Druhou štěrbinou proto projde jen taková molekula, která k ní dorazí právě ve chvíli, kdy se štěrbina dostane do její dráhy. Rychlejší molekula přiletí příliš brzy, pomalejší příliš pozdě.
Let molekuly
d = vτPootočení kotouče
φ = ωτZ obou vztahů dostaneme
v = ωd/φZměnou úhlové rychlosti ω lze postupně propouštět molekuly různých rychlostí. Z množství látky zachycené za kotouči pak zjistíme, kolik molekul připadá na jednotlivé intervaly rychlosti – získáme tedy experimentální rozdělení rychlostí.
Proč musí pokus probíhat ve vakuu?
Ve vzduchu by sledované molekuly cestou mezi kotouči narážely do molekul okolního plynu a měnily směr i rychlost. Ve vakuu mohou mezi kotouči letět prakticky volně.
Ne všechny molekuly se pohybují stejně rychle
V plynu, který je v rovnovážném stavu, nemají všechny molekuly v určitém okamžiku stejnou rychlost. Molekuly se neustále srážejí, a proto se mění velikost i směr jejich rychlosti.
Místo rychlosti jediné molekuly nás proto zajímá, kolik molekul se pohybuje určitou rychlostí. Výsledek můžeme znázornit histogramem a při velmi velkém počtu částic plynulou křivkou.
Rozdělení molekul podle rychlosti
Svislá osa vyjadřuje relativní počet molekul. Vodorovná osa udává rychlost v [m·s−1].
Při zvýšení teploty se maximum rozdělení posouvá k vyšším rychlostem, křivka se rozšiřuje a její vrchol se zároveň snižuje. Celkový počet molekul jsme totiž nezměnili, takže plocha pod křivkou musí zůstat stejná. Molekuly jsou při vyšší teplotě pouze rozděleny do širšího intervalu rychlostí. Při každé teplotě navíc existuje malé množství molekul s velmi vysokou rychlostí.
Mohou některé molekuly překročit i únikovou rychlost Země?
Ano. V rozdělení rychlostí existuje i malý podíl mimořádně rychlých částic. U lehkých částic ve vysokých vrstvách atmosféry může být jejich rychlost dostatečná k úniku z gravitačního pole Země. To je jeden z důvodů, proč Země obtížně udrží velmi lehké plyny, například vodík a helium.
Maxwellovo rozdělení rychlostí
Teoretický popis rozdělení rychlostí molekul plynu odvodil v 19. století James Clerk Maxwell. Dnes mluvíme o Maxwellově, přesněji Maxwellově–Boltzmannově rozdělení rychlostí.
Větší podíl molekul má menší rychlosti a maximum křivky leží více vlevo.
Rozdělení je širší a větší podíl molekul dosahuje vysokých rychlostí.
Jedna molekula je příliš neklidná
Okamžitá rychlost jediné molekuly se kvůli srážkám velmi rychle mění. Pro popis vlastností plynu proto není rychlost konkrétní částice příliš užitečná. Zavádíme místo ní statistické veličiny charakterizující celý soubor molekul.
Jednou z nich je střední kvadratická rychlost. Představme si, že všechny částice plynu o stejné hmotnosti nahradíme částicemi s jedinou společnou rychlostí vk tak, aby se přitom nezměnila jejich celková kinetická energie.
vk = √⟨v2⟩Proč rychlosti nejprve umocňujeme na druhou?
Kinetická energie částice je úměrná druhé mocnině její rychlosti. Právě proto se při charakterizaci energie pohybu molekul přirozeně objevuje průměr hodnot v2 a následně jeho odmocnina.
Odkud se bere tlak plynu?
Tlak jsme už dříve definovali jako sílu působící kolmo na jednotkovou plochu:
p = F/SNa mikroskopické úrovni vzniká tlak plynu tím, že molekuly narážejí do stěn nádoby. Při nárazu se mění jejich hybnost, a molekula proto působí na stěnu silou.
Nárazy molekul na stěnu
Molekuly v nádobě
Relativní tlak na pravou stěnu
Graf vpravo nezobrazuje pouze počet nárazů. V každém krátkém časovém intervalu se sčítají změny hybnosti předané pravé stěně a výsledek se dělí délkou intervalu. Protože plocha stěny je stálá, je tato veličina úměrná tlaku. Osa je proto označena jako relativní tlak.
Jednotlivé nárazy jsou neuspořádané a jejich počet i velikost se v čase mění. U běžného množství plynu je však molekul nepředstavitelně mnoho, takže se účinky obrovského počtu nárazů zprůměrují.
Fluktuace tlaku
Kdybychom sledovali velmi malý počet molekul, okamžitý tlak by nebyl dokonale stálý. Kolem své střední hodnoty by náhodně kolísal – fluktuoval.
Jednotlivé nárazy jsou relativně významné, a proto jsou fluktuace tlaku výraznější.
Náhodné rozdíly se zprůměrují a tlak se jeví jako téměř konstantní.
Statický tlak p můžeme chápat jako střední hodnotu rychle kolísajícího okamžitého tlaku.
Časté omyly
- „Všechny molekuly plynu mají při stejné teplotě stejnou rychlost.“ Nemají. Rychlosti molekul jsou rozděleny v širokém intervalu a neustále se mění při srážkách.
- „Vyšší teplota znamená, že každá molekula má přesně větší rychlost.“ Teplota charakterizuje statistické vlastnosti celého souboru. I při nižší teplotě mohou existovat jednotlivé velmi rychlé molekuly.
- „Střední kvadratická rychlost je obyčejná průměrná rychlost.“ Není. Nejprve průměrujeme druhé mocniny rychlostí a až potom odmocňujeme.
- „Tlak plynu vzniká vahou molekul na dno nádoby.“ Hlavní příčinou tlaku jsou nárazy molekul na stěny nádoby ze všech směrů.
- „Když je tlak plynu stálý, nárazy molekul na stěnu musí být také dokonale pravidelné.“ Ne. Jednotlivé nárazy jsou náhodné; při obrovském počtu částic se jejich účinek statisticky zprůměruje.