Skládání pohybů
Proč letadlo přistává bokem?
Představte si, že stojíte u letiště a pozorujete přistávající dopravní letadlo. Přibližuje se k přistávací dráze, ale něco je zvláštní. Jeho příď nemíří přímo podél dráhy, nýbrž šikmo stranou. Na první pohled to vypadá, jako by pilot mířil úplně jinam, než kam chce přistát. Přesto letadlo pokračuje správným směrem. Pilot totiž musí počítat se silným bočním větrem, který letadlo unáší. Kdyby letěl přesně ve směru své přídě, vítr by ho mohl odchýlit mimo přistávací dráhu. Jak tedy může letadlo mířit jedním směrem, ale pohybovat se jiným?
Boeing 757 společnosti TUI přistává na letišti v Bristolu během silného bočního větru. Video v angličtině.
Letadlo se pohybuje vůči okolnímu vzduchu, zatímco samotný vzduch se pohybuje vůči Zemi. Pilot může natočit příď proti větru tak, aby výsledný pohyb letadla směřoval podél přistávací dráhy. Krátce před dosednutím obvykle ještě upraví natočení letadla, aby podvozek dosedl ve vhodném směru.
Nejdříve se seznámíme s vektory
Dosud jsme rychlost často popisovali pouze číslem a jednotkou, například „auto jede rychlostí 60 km/h“. To ale nestačí k úplnému popisu pohybu. Potřebujeme také vědět, kterým směrem se auto pohybuje.
Fyzikální veličiny rozdělujeme mimo jiné na skalární a vektorové.
- Skalární veličina je určena hodnotou a jednotkou. Například hmotnost, čas nebo teplota.
- Vektorová veličina má velikost a směr. Například rychlost, zrychlení nebo síla.
Vektor znázorňujeme orientovanou úsečkou – šipkou. Její délka vyjadřuje velikost veličiny ve zvoleném měřítku a hrot ukazuje směr a orientaci.
Jak vypadá vektor rychlosti?
Změňte velikost a směr rychlosti. Sledujte, co se děje se šipkou.
Zvolené měřítko: 1 m/s odpovídá 14 obrazovým bodům.
Vektor rychlosti budeme zapisovat písmenem v se šipkou nad ním. Pokud nás zajímá pouze velikost rychlosti, píšeme jednoduše v bez šipky.
Zápis vektoru pomocí složek
Vektor můžeme popsat také dvojicí čísel. První číslo udává jeho vodorovnou složku, druhé svislou složku.
Například vektor rychlosti
znamená 3 m/s doprava a 4 m/s vzhůru. Obě složky popisují jeden vektor. Jeho velikost je podle Pythagorovy věty 5 m/s.
Znaménka určují orientaci složek: kladná vodorovná složka míří doprava, záporná doleva; kladná svislá složka míří vzhůru, záporná dolů.
Například vektor
míří 2 m/s doleva a 5 m/s vzhůru. Jeho velikost je přibližně 5,39 m/s.
V obrázcích je modře vyznačen celý vektor, červeně jeho vodorovná složka a šedě svislá složka. Délky šipek odpovídají zvolenému měřítku.
Můžeme vektorem pohybovat?
Při kreslení a sčítání vektorů často potřebujeme šipku přesunout na jiné místo obrázku. U volného vektoru to můžeme udělat: pokud zachováme jeho délku, směr a orientaci, představuje stále stejný vektor. Takovému přesunutí říkáme rovnoběžné posunutí.
Posuňte vektor myší
Uchopte modrou šipku myší nebo prstem a přesuňte ji na jiné místo. Sledujte, zda se mění její velikost, směr nebo složky.
Složky vektoru neudávají, kde se šipka nachází, ale o kolik se musíme posunout od jejího začátku ke konci.
Například vektor (4; 3) m/s znamená, že od začátku šipky postupujeme o čtyři dílky doprava a tři dílky vzhůru. Když celou šipku přesuneme jinam, její začátek i konec se posunou stejně. Mezi nimi proto stále zůstávají čtyři dílky vodorovně a tři svisle.
Mění se tedy souřadnice začátku a konce šipky, ale jejich rozdíl zůstává stejný. Proto se nemění ani složky vektoru.
Zobrazit odpověď
Skládání rychlostí
Uvažujme cestujícího v letadle. Jeho rychlost vůči letadlu se skládá s rychlostí letadla vůči Zemi. Podobně se rychlost lodě vůči vodě skládá s rychlostí říčního proudu vůči břehu.
Výsledná rychlost je vektorovým součtem jednotlivých rychlostí.
Vektory můžeme sčítat graficky dvěma způsoby. V obou případech využíváme toho, že volné vektory můžeme rovnoběžně posouvat.
- Trojúhelníkové pravidlo: druhý vektor posuneme tak, aby začínal na konci prvního. Výslednice vede od počátku prvního ke konci druhého.
- Pravidlo rovnoběžníku: oba vektory mají společný počátek. Doplníme rovnoběžník a jeho úhlopříčka představuje výslednici.
Složte dva vektory
Měňte velikosti rychlostí a úhel mezi nimi. Čárkované úsečky doplňují rovnoběžník.
první rychlost druhá rychlost výslednice
Stejný a opačný směr
Pokud vektory míří stejným směrem, jejich velikosti sčítáme:
Pokud míří opačně, výsledná velikost je absolutní hodnota rozdílu:
Výsledný vektor míří ve směru větší rychlosti. Pokud jsou obě stejně velké a opačně orientované, výslednice je nulová.
Zobrazit řešení
Dopředu: 250 + 1 = 251 m/s. Dozadu: 250 − 1 = 249 m/s.
V obou případech se cestující vůči Zemi stále pohybuje ve směru letu letadla. Předpokládáme pohyb po stejné přímce.
Skládání rychlostí po složkách
U rychlostí, které míří různými směry, můžeme postupovat jednoduše: sečteme zvlášť vodorovné složky a zvlášť svislé složky. Přitom si zvolíme, že doprava a vzhůru jsou kladné směry, zatímco doleva a dolů záporné.
Začneme jednoduchým příkladem. Jeden pohyb má rychlost 3 m/s doprava, druhý 4 m/s vzhůru. Výsledná rychlost má tedy vodorovnou složku 3 m/s a svislou složku 4 m/s.
Velikost výsledné rychlosti určíme Pythagorovou větou:
Obecnější příklad
Co když ani jedna rychlost nemíří pouze vodorovně nebo svisle? Postup zůstává úplně stejný.
Dva šikmé vektory
První rychlost má složky 4 m/s doprava a 3 m/s vzhůru. Druhá rychlost má složky 2 m/s doleva a 5 m/s vzhůru. Jaká je výsledná rychlost?
Než zobrazíte řešení, zkuste určit obě složky výsledné rychlosti a její velikost.
Zobrazit postup výpočtu
1. Vodorovné složky:
2. Svislé složky:
Výsledný vektor tedy zapíšeme:
3. Velikost výsledné rychlosti:
Výsledná rychlost míří šikmo doprava vzhůru. Vodorovná složka je poměrně malá, protože se vodorovné složky obou původních rychlostí částečně ruší.
Sečtěte rychlosti po složkách
Nastavte vodorovné a svislé složky obou rychlostí. Modrá a červená šipka představují jednotlivé vektory, černá jejich součet.
první rychlost druhá rychlost výslednice
Jak poznáme směr výslednice?
Podíváme se na znaménka výsledných složek:
- Kladná vodorovná složka znamená pohyb doprava.
- Záporná vodorovná složka znamená pohyb doleva.
- Kladná svislá složka znamená pohyb vzhůru.
- Záporná svislá složka znamená pohyb dolů.
Pokud jsou obě složky nenulové, výslednice míří šikmo.
Loď na řece
Loď se pohybuje díky motoru vůči vodě. Voda se přitom pohybuje vůči břehu. Rychlost lodě vůči břehu proto dostaneme vektorovým součtem těchto dvou rychlostí.
L – loď, V – voda, B – břeh. První index označuje pohybující se objekt, druhý vztažný objekt.
Kam loď dopluje?
Loď na začátku míří kolmo k proudu. Můžete ji ale natočit proti proudu a pokusit se doplout přesně naproti.
loď vůči vodě proud výsledná rychlost
Zjednodušený model s konstantní rychlostí proudu a lodě. Šipky jsou vektory rychlostí, nikoli sil. Vzdálenosti jsou pro přehlednost přepočítávány do měřítka obrázku.
Zobrazit řešení
Složky rychlosti jsou na sebe kolmé. Proto:
Úhel od směru proudu splňuje tan α = 4,6/2,2. Tedy α ≈ 64,4°.
Od směru kolmého k proudu jde o odchylku přibližně 25,6° po proudu.
Jak musí loď mířit, aby doplula přímo naproti?
Musí zamířit proti proudu tak, aby vodorovná složka její rychlosti vůči vodě právě vyrovnala rychlost proudu.
Potřebné natočení je přibližně 28,6° proti proudu, měřeno od směru kolmého k břehu. Vyzkoušejte to v simulaci.
Co vznikne složením dvou rovnoměrných pohybů?
Pokud jsou obě skládané rychlosti stálé, je stálý i jejich vektorový součet.
Proto se loď v našem modelu pohybuje vůči břehu po přímce. Pokud se ale některá rychlost v čase mění, může být výsledný pohyb složitější. K tomu se vrátíme v následující kapitole.
Co si z kapitoly odnést
- Vektor má velikost a směr; znázorňujeme jej orientovanou úsečkou.
- Volný vektor můžeme rovnoběžně posouvat, aniž bychom jej změnili.
- Vektor v rovině můžeme zapsat dvojicí složek, například (3; −2).
- Složky udávají změnu souřadnic od začátku ke konci vektoru, nikoli polohu šipky.
- Rychlost je vektorová veličina. Je nutné uvést, vůči čemu ji měříme.
- Výsledná rychlost je vektorovým součtem jednotlivých rychlostí.
- Vektory můžeme sčítat graficky pravidlem rovnoběžníku nebo trojúhelníkovým pravidlem.
- Po složkách sčítáme samostatně vodorovné a svislé složky.
- Jednotlivé složky mohou být kladné, záporné nebo nulové.
- Pro velikost výslednice použijeme Pythagorovu větu.
- Složením dvou rovnoměrných přímočarých pohybů vzniká rovnoměrný přímočarý pohyb nebo klid.
Časté omyly
- „Vektor je jen číslo se znaménkem.“ Ne. Vektor v rovině nebo prostoru má obecně více možných směrů.
- „Přesunutím šipky vždy změníme vektor.“ U volného vektoru nezáleží na poloze šipky, pokud zachováme její velikost a směr.
- „Složky vektoru udávají souřadnice konce šipky.“ Udávají rozdíl souřadnic jejího konce a začátku. Souřadnice konce se složkám rovnají jen tehdy, když vektor začíná v počátku souřadnic.
- „Dvojice (3; 4) znamená dvě různé rychlosti.“ Jde o složky jednoho vektoru rychlosti.
- „Rychlosti vždy jednoduše sečteme.“ Sčítáme vektory, nikoli vždy jejich velikosti.
- „Záporná složka znamená zápornou rychlost.“ Záporné znaménko určuje orientaci složky vůči zvolené ose. Velikost rychlosti je nezáporná.
- „Při sčítání po složkách stačí sečíst všechna čtyři čísla.“ Vodorovné složky sčítáme zvlášť a svislé zvlášť.
- „Loď dopluje tam, kam míří příď.“ Proud může její výsledný směr změnit.
- „Výsledná rychlost musí být větší než každá původní.“ Nemusí; opačné vektory se mohou vyrušit.
Otázky na závěr
1. Jaký je rozdíl mezi skalární a vektorovou veličinou?
2. Jak znázorňujeme vektor rychlosti?
3. Co znamená zápis vektoru rychlosti (−3; 4) m/s?
4. Můžeme vektor posunout na jiné místo obrázku?
5. Proč se při posunutí volného vektoru nemění jeho složky?
6. Co je výslednicí rychlostí 4 m/s a 3 m/s ve stejném směru?
7. Co když mají opačný směr?
8. Jakou velikost má výslednice kolmých rychlostí 3 m/s a 4 m/s?
9. První vektor má složky (4; 3) m/s a druhý (−2; 5) m/s. Jaké složky má výslednice?
10. Jaká je velikost výslednice z předchozí otázky?
11. Jaké složky musí mít druhý vektor, aby se s vektorem (3; −4) m/s vyrušil?
12. Proč loď mířící kolmo k proudu dopluje šikmo?
13. Jak může letadlo letět podél dráhy, když jeho příď míří šikmo?
14. Jaký pohyb vznikne složením dvou rovnoměrných přímočarých pohybů?
Slovníček
Zdroje
Studijní podklad: Skládání pohybů, kapitola 17. Úvodní video: TUI Boeing 757 – Crosswind Landing . Doplňující informace: Airline Ratings – Dramatic video of perfect crosswind landing .