Soustava souřadnic, vztažná soustava
Který vlak se vlastně rozjel?
Sedíte ve vlaku na nádraží. Z okna vidíte vlak na vedlejší koleji. Najednou se začne pomalu posouvat. Na okamžik si nejste jistí: rozjel se vedlejší vlak, nebo ten váš?
Dokud se nepodíváte na nástupiště, sloup nebo jiný pevný bod, může být překvapivě těžké rozhodnout. Pohyb totiž nepozorujeme „sám o sobě“. Vždy porovnáváme polohu jednoho tělesa s polohou jiného tělesa.
Když sedíte ve vlaku, jste v klidu vzhledem k sedadlu, ale pohybujete se vzhledem k nástupišti. Spolu se Zemí obíháte kolem Slunce a spolu se Sluneční soustavou se pohybujete Galaxií.
Obě odpovědi mohou být správně. Musíme pouze dodat, vzhledem k čemu jeho pohyb popisujeme.
Otázka před videem
Představte si člověka v raketě, která se pohybuje kolem Země. Může tento člověk stejně správně říci „já stojím a Země se pohybuje“, jako my říkáme „Země stojí a raketa se pohybuje“?
Video (anglicky): MinutePhysics – Immovable Object vs. Unstoppable Force. Může vůbec existovat těleso, které je absolutně v klidu? Pro tuto kapitolu je nejdůležitější úvodní část videa.
Mechanika a mechanický pohyb
Přemísťování těles nebo jejich částí označujeme jako mechanický pohyb. Jde o nejzákladnější formu pohybu, se kterou se v mechanice setkáváme.
Část fyziky, která se zabývá zákony mechanického pohybu, nazýváme mechanika.
Kinematika
Popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho příčiny.
Ptá se například: Kde těleso je? Jakou dráhu urazilo? Jak rychle se pohybuje?
Z řeckého kineó – pohybuji.
Dynamika
Zkoumá příčiny pohybu těles a změn jejich pohybu.
Zde se později dostaneme například k síle a Newtonovým pohybovým zákonům.
Z řeckého dynamis – síla.
Hmotný bod
Skutečná tělesa mají určitý tvar a rozměry. Při řešení některých úloh jsou ale tyto vlastnosti nepodstatné. Těleso potom můžeme nahradit jednodušším modelem – hmotným bodem.
Důležité je, že hmotný bod nemusí představovat malé těleso. Rozhodující je, zda jsou rozměry tělesa podstatné pro jev, který právě zkoumáme.
Stejné těleso, dva různé modely
| Situace | Můžeme použít hmotný bod? |
|---|---|
| Auto jede z Českých Budějovic do Prahy. | Ano. Rozměry auta jsou ve srovnání s délkou trasy zanedbatelné. |
| Auto parkuje do úzkého parkovacího místa. | Ne. Jeho délka, šířka a natočení jsou podstatné. |
| Země obíhá kolem Slunce a zajímá nás její oběžná dráha. | Pro základní popis ano. |
| Zkoumáme otáčení Země kolem vlastní osy. | Ne. Její rozměry už nemůžeme jednoduše zanedbat. |
Otázka: Může být člověk hmotným bodem?
Ano – záleží na úloze. Pokud například sledujeme pohyb běžce po několikakilometrové trase, mohou být jeho rozměry nepodstatné. Chceme-li ale studovat jeho polohu při skoku do výšky nebo otáčení těla, model hmotného bodu už nemusí být vhodný.
Soustava souřadnic
Chceme-li pohyb popisovat, musíme nejprve určit polohu tělesa. V běžném životě můžeme říci „auto je před domem“ nebo „míč leží vedle branky“. Ve fyzice ale potřebujeme polohu vyjádřit jednoznačněji.
K tomu používáme soustavu souřadnic.
| Popis | Příklad | Počet souřadnic |
|---|---|---|
| jednorozměrný (1D) | vlak na přímém úseku trati | 1 |
| dvourozměrný (2D) | hráč na fotbalovém hřišti | 2 |
| trojrozměrný (3D) | dron letící ve vzduchu | 3 |
Kartézská soustava souřadnic
Nejčastěji budeme používat kartézskou soustavu souřadnic. V rovině ji tvoří dvě navzájem kolmé osy x a y. Jejich průsečík nazýváme počátek soustavy souřadnic.
Poloha každého bodu v rovině je určena dvojicí čísel. Například
znamená, že bod A má souřadnice x = 3 a y = 2.
Proč „kartézská“?
Název je odvozen od jména francouzského matematika, fyzika a filozofa Reného Descarta (1596–1650). Jeho latinské jméno znělo Renatus Cartesius – odtud označení kartézský.
Descartes v roce 1637 vydal dílo La Géométrie, ve kterém ukázal, jak lze propojit geometrii s algebrou. Geometrické problémy tak bylo možné popisovat pomocí čísel a algebraických rovnic. Tím položil jeden ze základů analytické geometrie.
Dnešní obrázek dvou kolmých očíslovaných os ale u Descarta nenajdeme přesně v podobě, v jaké jej kreslíme ve škole. Moderní kartézská soustava se z těchto myšlenek vyvinula postupně.
S Descartem se někdy spojuje příběh o mouše lezoucí po stropě: její polohu by bylo možné určit dvěma čísly – vzdáleností ve dvou navzájem kolmých směrech. Je to pěkná ilustrace principu souřadnic, historická věrohodnost tohoto příběhu je však nejistá.
Kde se souřadnice používají? Sledujeme fotbalisty
Soustava souřadnic není jen pomůcka do učebnice. Moderní systémy pro analýzu sportu mohou zaznamenávat polohu každého hráče i míče pomocí souřadnic x a y.
Kamera nebo jiný sledovací systém určí polohu hráčů opakovaně během zápasu. Můžeme tak získat dlouhou řadu údajů:
Z těchto dat lze rekonstruovat pohyb hráče, určovat uraženou vzdálenost a rychlost nebo analyzovat rozestavení celého týmu.
Schematický příklad: každého hráče lze v daném okamžiku popsat dvojicí souřadnic (x, y). Opakováním měření získáme jeho trajektorii po hřišti.
Co všechno lze ze souřadnic hráčů zjistit?
- vykreslit trajektorii hráče po hřišti,
- spočítat uraženou vzdálenost,
- určit jeho rychlost,
- sledovat vzdálenosti mezi hráči,
- studovat rozestavení týmu,
- analyzovat pohyb hráčů bez míče.
Základ celé analýzy přitom může být velmi jednoduchý: čas + dvě souřadnice polohy.
A co v prostoru?
Chceme-li určit polohu bodu v prostoru, přidáme třetí souřadnici z. Bod je potom určen trojicí
U tří os ale vzniká nová otázka: kterým směrem má mířit kladná osa z? Abychom orientaci os určovali jednotně, používáme pravotočivou soustavu souřadnic.
Pravidlo pravé ruky
Orientaci os v pravotočivé kartézské soustavě můžeme určit pomocí pravidla pravé ruky.
P. Wormer: Right-hand-rule.jpg, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.
Představte si, že otevřenou pravou dlaň stáčíte od kladného směru osy x ke kladnému směru osy y.
Vztyčený palec potom ukazuje kladný směr osy z.
dlaň a prsty: x → y
palec: z
Důležité je pořadí os. Kdybychom pohyb ruky obrátili a stáčeli ji od y k x, palec by ukazoval opačným směrem.
Vyzkoušejte si pravidlo pravé ruky
Otevřete pravou dlaň a natočte ji tak, abyste ji mohli stáčet od kladného směru osy x ke kladnému směru osy y.
Kam přitom ukazuje palec? Jeho směr určuje kladný směr osy z.
Existují i jiné soustavy souřadnic
Kartézská soustava není jediná možnost. V některých úlohách je výhodnější použít jiné souřadnice.
- polární souřadnice – poloha v rovině je určena vzdáleností od počátku a úhlem,
- cylindrické (válcové) souřadnice – vhodné například pro problémy s válcovou symetrií,
- sférické (kulové) souřadnice – vhodné například pro problémy s kulovou symetrií.
V dalším textu budeme používat především kartézskou soustavu souřadnic.
Vztažné těleso
Vraťme se k cestujícímu ve vlaku. Jeho poloha vůči sedadlu se nemění, ale jeho poloha vůči nádraží se mění.
Abychom mohli rozhodnout, zda se těleso pohybuje, musíme určit jiné těleso, vzhledem k němuž jeho pohyb popisujeme. Takové těleso nazýváme vztažné těleso.
Klid a pohyb jsou relativní.
Změňte vztažné těleso
Cestující stále sedí na stejném místě. Změníme pouze těleso, vůči kterému jeho pohyb popisujeme.
Vztažné těleso: vagón. Poloha cestujícího vůči vagónu se nemění, proto je vůči němu v klidu.
Stejný cestující je tedy současně v klidu vůči vagónu a v pohybu vůči Zemi. Obě tvrzení jsou správná. Liší se pouze zvolené vztažné těleso.
Vztažná soustava
Vztažné těleso nám určuje, vzhledem k čemu polohu a pohyb sledujeme. Chceme-li ale polohu tělesa také číselně popsat, spojíme se vztažným tělesem soustavu souřadnic.
Například při popisu pohybu automobilu můžeme za vztažné těleso zvolit Zemi a spojit s ní soustavu souřadnic. Poloha automobilu je potom v každém okamžiku určena jeho souřadnicemi.
Dva pozorovatelé sledují stejný míč. Musejí jeho pohyb popsat stejně?
Nemusejí. Pokud jeden pozorovatel stojí na nástupišti a druhý jede ve vlaku, používají různé vztažné soustavy. Stejnému tělesu proto mohou přiřadit různý pohyb.
Polohový vektor
Polohu hmotného bodu můžeme popsat také pomocí polohového vektoru.
Polohový vektor má počátek v počátku soustavy souřadnic a konec v bodě, jehož polohu popisujeme.
V rovině můžeme jeho složky zapsat pomocí souřadnic x a y:
Jeho velikost určuje vzdálenost bodu od počátku soustavy. Z Pythagorovy věty:
Vyzkoušejte: změňte polohu bodu A
Táhněte modrým bodem v soustavě souřadnic. Sledujte, jak se mění jeho souřadnice a velikost polohového vektoru.
Bod A
x = 3,0
y = 2,0
|r| = 3,61
Hodnoty jsou zde pro jednoduchost bez jednotky. V konkrétní fyzikální úloze bychom jednotku uvedli.
Příklad: Bod A má souřadnice x = 3 m a y = 4 m. Jaká je velikost polohového vektoru?
Dosadíme do vztahu:
Bod A je tedy od počátku soustavy vzdálen 5 m.
Co si z kapitoly odnést
- Mechanický pohyb je změna polohy tělesa nebo jeho částí vzhledem k jiným tělesům.
- Kinematika popisuje pohyb, aniž by zkoumala jeho příčiny.
- Hmotný bod je model tělesa, u kterého zanedbáváme jeho rozměry a tvar.
- Pomocí soustavy souřadnic můžeme polohu tělesa popsat číselně.
- Klid a pohyb jsou relativní. Musíme vždy určit, vzhledem k čemu je posuzujeme.
- Vztažná soustava je tvořena vztažným tělesem a s ním spojenou soustavou souřadnic.
- Polohový vektor vede z počátku soustavy do bodu, jehož polohu popisujeme.
Časté omyly
- „Hmotný bod je velmi malé těleso.“ Ne. Hmotný bod je model. I velmi velké těleso můžeme za určitých podmínek považovat za hmotný bod.
- „Když sedím ve vlaku, jsem v klidu.“ Pouze vůči vlaku. Vůči nástupišti nebo okolní krajině se pohybujete.
- „Těleso buď je v klidu, nebo se pohybuje.“ Takové tvrzení není úplné. Musíme vždy uvést, vzhledem k čemu pohyb posuzujeme.
- „Když dva pozorovatelé sledují stejné těleso, musejí jeho pohyb popsat stejně.“ Nemusejí. Pokud používají různé vztažné soustavy, mohou pohyb popsat různě.
- „Souřadnice bodu a polohový vektor jsou totéž.“ Ne. Souřadnice jsou čísla určující polohu bodu. Polohový vektor je vektor vedený z počátku soustavy do daného bodu; jeho složky odpovídají souřadnicím bodu.
- „Počátek soustavy souřadnic musí být na určitém místě.“ Nemusí. Volíme jej tak, aby byl popis daného problému co nejjednodušší.
Otázky na závěr
1. Může být automobil hmotným bodem?
Ano i ne – záleží na úloze. Při popisu cesty mezi dvěma městy obvykle ano. Při parkování jeho rozměry zanedbat nemůžeme.
2. Sedíte ve třídě. Vůči čemu jste v klidu a vůči čemu se pohybujete?
V klidu jste například vůči lavici nebo budově školy. Spolu se Zemí se ale například pohybujete vzhledem ke Slunci.
3. Kolik souřadnic potřebujeme k určení polohy dronu ve vzduchu?
Obecně tři, protože jeho polohu určujeme v trojrozměrném prostoru.
4. Telefon leží na stolku v jedoucím vlaku. Je v klidu, nebo v pohybu?
Obojí může být správně. Je v klidu vůči stolku a vagónu, ale pohybuje se vzhledem k nástupišti nebo okolní krajině.
5. Proč při popisu pohybu nestačí říci pouze „těleso se pohybuje“?
Protože pohyb je relativní. Musíme určit vztažné těleso nebo vztažnou soustavu, vzhledem k níž změnu polohy posuzujeme.
Slovníček
Zdroje
[1] MinutePhysics: Immovable Object vs. Unstoppable Force – Which Wins?. YouTube, 2013. video
[2] Encyclopaedia Britannica: René Descartes. Biografické údaje a Descartův přínos k rozvoji analytické geometrie. zdroj
[3] Descartes, R.: La Géométrie, 1637. Historický základ propojení algebraického a geometrického popisu.
[4] Hudl: Tracking Data. Příklad využití pozičních dat hráčů při analýze sportovního výkonu. zdroj
[5] P. Wormer: Right-hand-rule.jpg. Wikimedia Commons, 2010. CC BY-SA 3.0. obrázek a licence