Stavová rovnice ideálního plynu

Balón, který se cestou zvětší stokrát

Když meteorologové vypouštějí měřicí balón, není nijak obrovský. Při startu může mít průměr přibližně 1,5 metru. Pak ale začne stoupat. Ve výšce kolem 30 kilometrů může mít průměr už přibližně 10 metrů – jeho objem je tedy řádově stokrát větší než při startu. Nakonec se natáhne natolik, že praskne.

Na první pohled je to zvláštní. Do balónu během letu nikdo další plyn nepřidává. Přesto se jeho objem dramaticky zvětšuje.

Důvodem je především klesající tlak okolního vzduchu. Současně se s výškou mění také teplota plynu. Ukazuje se tak něco důležitého: tlak, objem a teplota plynu spolu souvisejí. Změníme-li podmínky, nemůžeme obecně očekávat, že ostatní veličiny zůstanou stejné.

Krátké video v angličtině: meteorologický balón ve stratosféře

Kamera je namířena přímo na meteorologický balón. Je tak dobře vidět jeho silné roztažení ve velké výšce i okamžik, kdy nakonec praskne.

Otázka na úvod: Proč balón praskne právě ve velké výšce, když je tam tlak okolního vzduchu mnohem menší než u země? Dokázali bychom ze známého množství plynu, jeho teploty a tlaku předpovědět, jaký objem bude balón mít?

Jakými veličinami popisujeme stav plynu?

Plyn v rovnovážném stavu můžeme charakterizovat několika stavovými veličinami:

Termodynamická teplota T

Vyjadřuje tepelný stav plynu.

Tlak p

Souvisí s nárazy částic do stěn nádoby.

Objem V

Určuje prostor, který plyn zaujímá.

Počet částic N

Lze jej nahradit látkovým množstvím n nebo hmotností plynu m.

Stavová rovnice vyjadřuje vztah mezi stavovými veličinami plynu.

Stavová rovnice ideálního plynu

Pro ideální plyn lze vztah mezi tlakem, objemem, počtem částic a termodynamickou teplotou zapsat:

pV = NkT

Konstanta k se nazývá Boltzmannova konstanta:

k = 1,38 · 10−23 J·K−1

Častěji ale pracujeme s látkovým množstvím n. Potom zapisujeme stavovou rovnici ve tvaru:

pV = nRT

kde R je molární plynová konstanta:

R = 8,314 J·mol−1·K−1
Proč existují dva různé tvary stavové rovnice?

První tvar používá počet jednotlivých částic N a Boltzmannovu konstantu k. Druhý používá látkové množství n a molární plynovou konstantu R. Platí R = NAk, takže oba zápisy vyjadřují stejný fyzikální vztah.

Pokus: balónek v kapalném dusíku

Nafouknutý balónek má určitý objem, protože plyn uvnitř tlačí na jeho stěny. Když jej ponoříme do kapalného dusíku, během chvíle se silně smrští. Po vyjmutí a zahřátí se znovu téměř vrátí do původního tvaru.

Do balónku přitom nepřidáváme ani z něj neodebíráme významné množství plynu. Výrazně se však změní jeho teplota – a spolu s ní i objem. Jde tedy o názornou ukázku toho, že stavové veličiny plynu spolu souvisejí.

Video v angličtině: Balloons in Liquid Nitrogen

Sledujte, co se při prudkém ochlazení stane s objemem plynu a co se děje po opětovném zahřátí.

Látkové množství a související veličiny

Látkové množství n

Látkové množství udává počet daných částic látky – například atomů nebo molekul.

[n] = mol

Platí:

n = N/NA = m/M

Avogadrova konstanta

Udává počet částic v jednom molu látky:

NA = 6,022 · 1023 mol−1

Molární hmotnost M

Molární hmotnost je hmotnost jednoho molu látky.

[M] = kg·mol−1   (častěji g·mol−1)

Molární objem

Molární objem je objem, který zaujímá jeden mol látky za daných podmínek.

Molární objem není jedna pevná hodnota pro všechny podmínky. U plynu závisí na teplotě a tlaku.

Je stavová rovnice přesná pro každý plyn?

Ne. Vztah pV = nRT platí přesně pro ideální plyn. Skutečné plyny se tomuto modelu pouze přibližují.

Nižší tlak

Molekuly jsou dále od sebe, a proto lze snáze zanedbat jejich vlastní rozměry a vzájemné síly.

Vyšší teplota

Plyn se obvykle chová více jako ideální, protože vliv mezimolekulových sil je relativně menší.

Čím vyšší je tlak a čím nižší je teplota, tím výrazněji se může skutečný plyn od ideálního modelu odchylovat.

Stejné množství plynu ve dvou stavech

Velmi často porovnáváme stejný plyn před nějakou změnou a po ní. Pokud se množství plynu nemění, je nR konstantní:

p1V1/T1 = p2V2/T2

Jinými slovy:

pV/T = konst.
Tento vztah používáme pouze tehdy, když porovnáváme stejné množství plynu.

Jak spolu souvisejí tlak, objem a teplota?

Při stejném množství plynu je podle stavové rovnice tlak úměrný T/V.

Relativní tlak: 1,00×

Co se stane, když při stejné teplotě zvětšíme objem osmkrát?

Ze vztahu pV/T = konst. plyne, že při konstantní teplotě je tlak nepřímo úměrný objemu. Osmkrát větší objem proto znamená osmkrát menší tlak.

Stavová rovnice pomocí hmotnosti plynu

Protože pro látkové množství platí n = m/M, můžeme stavovou rovnici zapsat také:

pV = (m/M)RT

Tento tvar je vhodný v situaci, kdy známe hmotnost plynu a jeho molární hmotnost.

Pokus: balónek v lednici

Nafoukněte balónek, zavažte jej a nechte jej nějakou dobu v lednici. Po vyjmutí sledujte, jak se jeho objem mění při návratu k pokojové teplotě.

Co očekáváte? Bude mít studený balónek větší, stejný, nebo menší objem než při pokojové teplotě? Které veličiny z rovnice pV = nRT se přitom výrazně mění a které zůstávají přibližně stejné?

Časté omyly

  • „Do stavové rovnice můžu dosazovat teplotu ve stupních Celsia.“ Ne. Ve stavové rovnici musí být termodynamická teplota v kelvinech.
  • „Když se objem zvětší osmkrát, tlak se vždy osmkrát zmenší.“ Jen tehdy, pokud se nezmění teplota ani množství plynu.
  • „Mol a molekula jsou totéž.“ Ne. Jeden mol obsahuje přibližně 6,022 · 1023 částic.
  • „Molární objem plynu má vždy stejnou hodnotu.“ Ne. Závisí na teplotě a tlaku.
  • „Rovnice pV = nRT přesně popisuje každý skutečný plyn.“ Ne. Přesná je pro ideální plyn; u skutečných plynů jde o přiblížení.