Teplotní roztažnost látek
„Von se ten most roztáh vo sedmnáct metrů?“ Ve filmu Gympl vyvolá žákův výpočet při přezkoušení pochopitelné zděšení. Myšlenka, že se most při oteplení prodlužuje, je správná. Výsledek 17 metrů ale vypadá podezřele: kdyby se most prodlužoval o délku menšího domu, nestačily by mu běžné dilatační závěry a změnu bychom sotva přehlédli.
Ocelový most se během roku skutečně nepatrně prodlužuje a zkracuje. Totéž dělají kolejnice, potrubí, elektrické vodiče i kovové víčko sklenice. Někdy změnu délky potřebujeme umožnit, jindy ji naopak využíváme. Jak velká ale doopravdy je? Záleží na původní délce, změně teploty a materiálu - a právě to si v této kapitole spočítáme.
Ukázka z filmu Gympl (2007). Při sledování si všimněte, která část žákovy úvahy je správná a kde pravděpodobně vznikla chyba.
Zobrazit první odhad
Asi o 4,8 cm. Přesný výpočet provedeme níže. Jde o zjednodušený model volné roztažnosti celé stometrové ocelové konstrukce; skutečný most má dvě pole, mostní ložiska a další konstrukční části.
Co pozorujeme kolem sebe?
Vodiče mezi sloupy
V létě bývají vodiče více prověšené, v zimě napjatější. S rostoucí teplotou se totiž prodlužují.
Skutečné fotografie z výukového materiálu CARNET. Nejde o časosběr téhož rozpětí ze stejného místa, proto dvojice názorně ukazuje jev, ale neslouží k přesnému porovnání průhybu.
Kovové víčko
Po ohřátí se kovové víčko nepatrně rozšíří, zatímco sklenice se zatím téměř nezmění. Závit se proto může snáze uvolnit.
Kulička a kroužek
- Nezahřátou kuličku spustíme skrz otvor v kroužku.
- Zahřejeme pouze kuličku, kroužek zůstane chladný.
- Průměr kuličky se zvětší a kulička se o kroužek zastaví.
Skutečná pomůcka z roku 1894. Science Museum Group, CC BY-NC-SA 4.0.
Mostní dilatační závěr
Ocelové části do sebe zapadají jako prsty. Vozidla přes ně mohou přejet, ale konce mostovky se přitom mohou s oteplením přiblížit a s ochlazením zase vzdálit.
Foto: CrazyD, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.
Proč se pevná látka roztahuje?
Částice pevné látky kmitají kolem rovnovážných poloh. Při vyšší teplotě je jejich kmitání v průměru intenzivnější. Vazba mezi sousedními částicemi není dokonale souměrná, a proto se jejich střední vzdálenost obvykle nepatrně zvětší. Jedna změna je téměř nepředstavitelně malá, podél stometrového tělesa se však skládají stovky miliard takových vzdáleností.
Pro názornost model předpokládá počáteční střední vzdálenost 0,25 nm a zvětšení na obrázku mnohonásobně nadsazuje. Skutečné krystaly mohou mít složitou strukturu; makroskopický součinitel α zde používáme k odhadu průměrné relativní změny vzdáleností ve směru délky.
Délková teplotní roztažnost
Tyč má při počáteční teplotě t0 délku l0. Teplota se změní o
Pro běžné změny teploty je změna délky přibližně přímo úměrná původní délce i změně teploty. Závisí také na materiálu:
Teplotní součinitel délkové roztažnosti α udává, o jakou část původní délky se těleso prodlouží při zvýšení teploty o 1 K. Jeho jednotkou je K−1.
Protože l = l0 + Δl, můžeme vztah upravit:
Změna teploty vyjádřená ve stupních Celsia má stejnou číselnou hodnotu jako změna v kelvinech. Například oteplení z 5 °C na 30 °C znamená Δt = 25 °C = 25 K.
| Materiál | α přibližně [K−1] | Prodloužení 1 m při oteplení o 100 K |
|---|---|---|
| ocel | 12 · 10−6 | 1,2 mm |
| měď | 17 · 10−6 | 1,7 mm |
| hliník | 24 · 10−6 | 2,4 mm |
| beton | přibližně 10 · 10−6 | přibližně 1,0 mm |
Hodnoty jsou orientační. Součinitel se může měnit s přesným složením materiálu a s teplotou.
Interaktivně: O kolik se prodlouží most?
Zvolte materiál, délku konstrukce a změnu teploty. Obrázek změnu délky výrazně zvětšuje, výsledek pod ním však odpovídá skutečnému výpočtu.
Jak pracuje válečkové ložisko: spodní deska zůstává pevně na pilíři, horní deska se posouvá s mostovkou. Válečky se mezi nimi odvalují; jejich středy proto urazí polovinu dráhy horní desky. V obrázku jejich otáčení ukazují krátké rysky.
Jak dlouhý by musel být ocelový most, aby se při oteplení o 40 K prodloužil o 17 m?
Musel by být dlouhý přibližně 35 km: l0 = Δl/(αΔt) = 17/(12 · 10−6 · 40) ≐ 35 400 m. Chyba ve filmovém výpočtu tedy není v samotném principu, ale v řádu výsledku.
Jak málo stačí k velkému vybočení kolejnic?
Zobrazit řešení
Každá prodloužená kolejnice tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku:
Prodloužení jedné kolejnice je
Aby se střed v tomto modelu zvedl o 1 m, stačí tedy prodloužení každé kolejnice přibližně o 2 cm - dohromady asi o 4 cm.
Co tento model zjednodušuje?
Skutečné kolejnice nejsou dvě dokonale tuhé úsečky spojené kloubem. Ohýbají se plynule a upevnění k pražcům jejich pohyb omezuje. Kolej navíc zpravidla vybočí spíše do strany než o metr vzhůru. Výpočet ale dobře ukazuje, proč i malé prodloužení může při omezeném rozpínání vyvolat nápadně velké vybočení.
Řešený příklad: měděný drát
Měděný drát má při teplotě 5 °C délku 21,55 m. Jakou délku bude mít při teplotě 30 °C? Uvažujte α = 17 · 10−6 K−1.
Zobrazit řešení
Nejprve určíme změnu teploty: Δt = 30 − 5 = 25 K.
Δl = αl0Δt = 17 · 10−6 · 21,55 · 25 m ≐ 0,00916 m = 9,16 mm.
Nová délka je l = 21,55 m + 0,00916 m ≐ 21,559 m.
Objemová teplotní roztažnost
Při změně teploty se nemění jen délka, ale také šířka a výška tělesa. Změnu objemu popisujeme obdobným vztahem:
β je teplotní součinitel objemové roztažnosti [K−1]. U stejnorodých pevných látek, které se ve všech směrech roztahují stejně, přibližně platí
Pro zájemce: Voda se nechová vždy obvykle
Většina kapalin se při ochlazování zmenšuje. Voda má však největší hustotu přibližně při 4 °C. Při dalším ochlazování k bodu tuhnutí její objem roste. Tato anomálie pomáhá vysvětlit, proč vodní plochy zamrzají od povrchu.
Kde se s roztažností počítá?
- Mosty: ložiska a dilatační závěry dovolují částem konstrukce nepatrný pohyb.
- Kolejnice: u bezstykové koleje se roztažnosti neumožňuje volně projevit; kolejnice se upevňují při stanovené neutrální teplotě a vznikající napětí musí přenést pražce i upevnění.
- Potrubí: ohyby a kompenzátory omezují namáhání při zahřívání a chladnutí.
- Elektrické vedení: vodiče musejí mít takový průvěs, aby se při mrazu nadměrně nenapínaly.
- Bimetalový pásek: dvě spojené vrstvy s různými součiniteli roztažnosti se při změně teploty prohnou. Toho využívají některé termostaty a tepelné spínače.
Jak to vypadá ve skutečnosti?
Pro zájemce: Proč se bimetal prohne?
Obě vrstvy jsou pevně spojeny, nemohou se tedy volně prodloužit každá jinak. Vrstva s větším součinitelem roztažnosti chce být při zahřátí delší, a proto se ocitne na vnější straně oblouku.
Historická zajímavost: Když hodiny měnily chod s počasím
Perioda kyvadla je doba jednoho úplného pohybu tam a zpět. Delší kyvadlo se pohybuje pomaleji a jeho perioda je delší. Když se tedy kovová tyč kyvadla v teple prodlouží, hodiny začnou postupně zaostávat.
Anglický hodinář John Harrison proto kolem roku 1726 sestrojil roštové kyvadlo z několika střídavě uspořádaných mosazných a ocelových tyčí. Propojil je tak, aby roztažení jedněch posunovalo závaží opačným směrem než roztažení druhých. Účinná délka kyvadla proto zůstávala téměř stálá.
Harrison se později proslavil námořními chronometry, které pomohly řešit určování zeměpisné délky na moři.
Otázky a úlohy
1. Proč není správné říci, že se těleso při zahřátí vždy roztáhne?
Jde o velmi časté chování, nikoli o pravidlo bez výjimek. Některé materiály mají v určitém teplotním rozsahu velmi malou nebo dokonce zápornou teplotní roztažnost.
2. Hliníková a ocelová tyč mají stejnou délku a zahřejeme je o stejnou teplotu. Která se prodlouží více?
Hliníková, protože má přibližně dvojnásobný teplotní součinitel délkové roztažnosti.
3. Ocelová kolejnice dlouhá 25 m se ohřeje o 30 K. O kolik by se prodloužila, kdyby se mohla volně rozpínat?
Δl = 12 · 10−6 · 25 · 30 m = 0,009 m = 9 mm.
4. Změní se při ochlazení znaménko Δl?
Ano. Při ochlazení je Δt záporné, proto je u materiálu s kladným α záporná i změna délky: těleso se zkrátí.
5. Proč se skleněná nádoba může při nerovnoměrném zahřátí rozbít?
Různé části nádoby mají různou teplotu a chtějí změnit rozměry o různé hodnoty. Protože jsou spojeny, vzniká v materiálu mechanické napětí, které může překročit jeho pevnost.
Časté omyly
- „Při zahřátí přibývá mezi částicemi další látka.“ Nepřibývá. Mění se jejich střední vzdálenosti.
- „Zvýšení o 20 °C není totéž jako zvýšení o 20 K.“ Pro rozdíl teplot jde o stejnou číselnou hodnotu.
- „Součinitel α říká, o kolik metrů se těleso prodlouží.“ Změna délky závisí také na původní délce a změně teploty.
- „Mezery mezi každými kolejnicemi jsou jediným řešením.“ Moderní bezstyková kolej pracuje s mechanickým napětím v pevně upevněných kolejnicích.
- „Sedmnáct metrů je nemožných za všech okolností.“ U dostatečně dlouhé konstrukce nebo mimořádně velké změny teploty možné být mohou; pro běžný most jde o nereálný výsledek.
Metodická poznámka pro učitele
Filmovou scénu je vhodné zastavit před reakcí učitele a nechat žáky hlasovat pro řád výsledku. V interaktivním modelu mohou nejprve nastavit 500 m a 40 K, poté hledat délku mostu, která by vedla k 17 m. Experimentálně lze použít Gravesandův přístroj s kuličkou a kroužkem nebo jednoduchý ukazatel prodloužení zahřívané kovové tyče. Při výkladu kolejnic je vhodné nezůstávat u zastaralé představy pravidelných mezer: bezstyková kolej omezuje volnou dilataci a změna teploty se projevuje především mechanickým napětím.
Česko-anglický slovníček
- teplotní roztažnost
- thermal expansion
- délková roztažnost
- linear expansion
- objemová roztažnost
- volume expansion
- změna délky
- change in length
- teplotní součinitel
- thermal expansion coefficient
- dilatační závěr
- expansion joint
- mostní ložisko
- bridge bearing
- bimetalový pásek
- bimetallic strip
- bezstyková kolej
- continuous welded rail
- vybočení koleje
- track buckling
- roštové kyvadlo
- gridiron pendulum
- mechanické napětí
- mechanical stress