Vodorovný a šikmý vrh
Může dělová koule obletět Zemi?
Představte si obrovské dělo na vrcholu velmi vysoké hory. Vystřelená koule dopadne na zem. Když zvýšíme její počáteční rychlost, dopadne dál. Co by se ale stalo, kdybychom rychlost stále zvětšovali?
Takový myšlenkový experiment použil Isaac Newton k vysvětlení pohybu těles kolem Země. Jeho závěr byl překvapivý: dělová koule by při vhodné rychlosti mohla Zemi obíhat.
Musí na těleso, které obíhá kolem Země, stále působit gravitace? Může těleso neustále padat, a přesto nikdy nedopadnout na povrch?
Pokud se video nepřehraje, otevřete Newtonovo dělo přímo na YouTube .
Vysvětlení: proč může koule obíhat Zemi?
Gravitace působí i na obíhající těleso. Při dostatečné vodorovné rychlosti se však zakřivený zemský povrch pod padajícím tělesem stále vzdaluje. Koule tak může obíhat Zemi.
Dále budeme řešit jednodušší vrhy blízko povrchu Země, kde tíhové zrychlení považujeme za konstantní.
Vodorovný vrh
Vodorovný vrh vzniká, když těleso získá počáteční rychlost ve vodorovném směru a potom se pohybuje působením gravitace. Příkladem je kulička, která opustí okraj stolu.
Bez odporu vzduchu se pohyb skládá ze dvou nezávislých částí: vodorovného rovnoměrného pohybu a svislého volného pádu. Vodorovná rychlost se nemění, svislá rychlost při pádu roste.
Ze stejné výšky ve stejném okamžiku pustíme jednu kuličku a druhou vrhneme vodorovně. Která dopadne dříve? Svou odpověď zdůvodněte ještě před spuštěním simulace.
Interaktivní simulace: dvě kuličky
Obě kuličky mají stejnou počáteční výšku a nulovou počáteční svislou rychlost. Odpor vzduchu zanedbáváme.
Vysvětlení výsledku simulace
Obě kuličky dopadnou ve stejném okamžiku. Jejich svislý pohyb je totožný. Vodorovná rychlost pouze určuje, jak daleko od místa vypuštění kulička dopadne.
Matematický popis
Zvolíme vodorovnou osu x a svislou osu y, přičemž y udává výšku nad zemí. Vodorovná souřadnice se mění rovnoměrně:
Ve svislém směru těleso padá z výšky h:
Zde v0 označuje počáteční rychlost [m/s], t čas [s], h počáteční výšku [m] a g tíhové zrychlení [m/s²]. Poblíž zemského povrchu je g ≈ 9,81 m/s².
Při dopadu je y = 0. Dobu pádu tedy vypočítáme:
Dolet d je vodorovná vzdálenost od místa vypuštění k místu dopadu:
Řešený příklad: kulička na stole
Kulička opustí okraj stolu vysokého 1,25 m vodorovnou rychlostí 2,0 m/s. Jak daleko od stolu dopadne? Použijte g = 10 m/s².
Výsledek: Kulička dopadne přibližně 1,0 m od okraje stolu.
Experiment: dvě kuličky
Uvolněte současně dvě podobné kuličky ze stejné výšky: jednu nechte padat, druhé udělte vodorovnou rychlost. Natočte pokus zpomaleně a porovnejte okamžiky dopadu.
Šikmý vrh
Při šikmém vrhu směřuje počáteční rychlost pod úhlem α k vodorovnému směru. Těleso může nejprve stoupat, dosáhnout nejvyššího bodu a následně klesat.
Při zanedbání odporu vzduchu má trajektorie v blízkosti zemského povrchu tvar paraboly.
Pod jakým úhlem doletí míč nejdále, jestliže jej pokaždé vrhneme stejnou rychlostí a dopadne do stejné výšky, ze které byl vypuštěn?
Interaktivní simulace: šikmý vrh
Model předpokládá stejnou výšku vypuštění a dopadu a zanedbává odpor vzduchu.
Proč právě úhel 45°?
Menší úhel znamená větší vodorovnou rychlost, ale kratší dobu letu. Větší úhel prodlužuje dobu letu, ale zmenšuje vodorovnou rychlost.
Při stejné počáteční a konečné výšce a bez odporu vzduchu je největší dolet při úhlu 45°. V reálných podmínkách se optimální úhel může lišit.
Pro zvídavé: matematický popis šikmého vrhu
Počáteční rychlost rozložíme na vodorovnou a svislou složku:
Při počátku souřadnic v místě vypuštění platí:
Čas dosažení nejvyššího bodu:
Pro stejnou počáteční a konečnou výšku je celková doba letu:
Dolet:
Funkce sin(2α) dosahuje maxima při α = 45°.
Opice a lovec: kam mířit?
Představte si lovce, který míří na opici visící na větvi. Ve chvíli výstřelu se opice pustí a začne padat.
Kam musí lovec mířit: nad opici, pod ni, nebo přímo na ni?
Předpokládejte, že střela doletí k opici dříve, než opice dopadne na zem, a zanedbejte odpor vzduchu.
▶ Přehrát demonstraci Monkey and Hunter na YouTube ↗Vysvětlení pokusu
Střela i opice od okamžiku výstřelu vlivem gravitace klesají za stejnou dobu o stejnou svislou vzdálenost.
Za uvedených podmínek proto střela zasáhne padající opici, pokud lovec míří na její počáteční polohu. Jde o klasický myšlenkový a demonstrační experiment.
Co změní odpor vzduchu?
V předchozích modelech jsme odpor vzduchu zanedbali. Ve skutečnosti však působí proti okamžité rychlosti tělesa a ovlivňuje výšku i dolet.
Skutečná trajektorie proto obecně není přesnou parabolou.
Interaktivní simulace: odpor vzduchu
Zjednodušený model s odporem úměrným druhé mocnině rychlosti. Posuvník odporu nepředstavuje kalibrovanou fyzikální veličinu.
Je trajektorie s odporem vzduchu souměrná? Jak se změní dolet? Proč se badmintonový míček pohybuje jinak než kovová kulička?
Vysvětlení
Odpor vzduchu postupně snižuje vodorovnou rychlost a mění také svislý pohyb. Dolet je proto kratší a trajektorie obvykle není souměrná.
V reálných podmínkách nemusí být pro největší dolet nejlepší úhel 45°.
Otázky na závěr
1. Proč dopadnou současně kulička puštěná a kulička vržená vodorovně?
Mají stejný svislý pohyb: stejnou počáteční výšku, nulovou počáteční svislou rychlost a stejné tíhové zrychlení.
2. Co se změní, když při vodorovném vrhu zdvojnásobíme počáteční rychlost?
Doba pádu zůstane stejná, ale dolet se zdvojnásobí, pokud zanedbáme odpor vzduchu.
3. Jaká je rychlost tělesa v nejvyšším bodě šikmého vrhu?
Svislá složka je nulová, ale vodorovná složka zůstává nenulová. Těleso se tedy stále pohybuje.
4. Proč není reálná trajektorie míče přesnou parabolou?
Protože na míč kromě gravitace působí také odpor vzduchu; v některých situacích navíc vztlaková síla související s rotací.
5. Jak souvisí Newtonovo dělo s pohybem družic?
Obě tělesa se pohybují pod vlivem gravitace. Při vhodné vodorovné rychlosti může těleso Zemi obíhat, aniž dopadne na povrch.
Časté omyly
- „Vodorovně vržená kulička dopadne později, protože urazí delší dráhu.“ Ne. Doba pádu závisí na svislém pohybu, který je u obou kuliček stejný.
- „V nejvyšším bodě šikmého vrhu je rychlost tělesa nulová.“ Nulová je pouze svislá složka rychlosti. Vodorovná složka zůstává nenulová.
- „Na letící míč musí působit síla ve směru jeho pohybu.“ Ne. Bez odporu vzduchu působí po vypuštění na míč pouze tíhová síla.
- „Těžší těleso musí při stejném vrhu dopadnout dříve.“ Bez odporu vzduchu nezávisí pohyb tělesa na jeho hmotnosti.
- „Úhel 45° vždy zaručuje největší dolet.“ Platí to pouze pro ideální šikmý vrh bez odporu vzduchu, se stejnou počáteční a konečnou výškou a pevnou počáteční rychlostí.
- „Na družici na oběžné dráze nepůsobí gravitace.“ Naopak. Právě gravitace zakřivuje její trajektorii a udržuje ji na oběžné dráze.
Slovníček
Reference
- NEWTON, Isaac. A Treatise of the System of the World (posmrtně vydáno 1728) – myšlenkový experiment s dělem.
- Newtonovo dělo – video .
- Monkey and Hunter – demonstrační video .