Volný pád a svislý vrh

Co dopadne dřív – kladivo, nebo pero?

V roce 1971 stál astronaut David Scott na povrchu Měsíce s kladivem v jedné ruce a sokolím perem ve druhé. Oba předměty držel přibližně ve stejné výšce a současně je pustil.

Než pustíte video:
Co podle vás dopadne na povrch Měsíce dříve? Kladivo, pero, nebo oba předměty současně? A co by se stalo při stejném pokusu na Zemi?

Apollo 15, 1971 – astronaut David Scott demonstruje pád kladiva a sokolího pera na Měsíci.

Kladivo i pero dopadnou téměř současně. Na Měsíci prakticky chybí atmosféra, a tedy i odpor vzduchu, který na Zemi pohyb lehkého pera výrazně ovlivňuje.

Pokud můžeme odpor prostředí zanedbat, padají různá tělesa se stejným tíhovým zrychlením.

Volný pád

Volný pád je zvláštní případ rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu ve svislém směru.

Těleso při něm uvolníme bez počáteční rychlosti a jeho pohyb je způsoben působením gravitace.

Volný pád budeme popisovat jako pohyb tělesa, při kterém zanedbáváme odpor vzduchu. Ideálně tedy uvažujeme pád ve vakuu.

U některých těles lze odpor vzduchu přibližně zanedbat i při běžném experimentu – například při pádu malé husté kovové kuličky z nepříliš velké výšky.

Proč na Zemi padá pero pomaleji?

Rozdíl mezi pádem ve vzduchu a ve vakuu můžeme ukázat pomocí Newtonovy trubice.

Do průhledné trubice vložíme například kuličku a lehké pero. Ve vzduchu se jejich pohyb výrazně liší. Po odčerpání vzduchu ale dopadnou prakticky současně.

Vzduch versus vakuum

Spusťte oba pokusy a porovnejte pohyb kuličky a pera.

vzduch

vakuum

Animace je pouze názorný model. Ve skutečnosti závisí pohyb ve vzduchu na tvaru tělesa, jeho rozměrech, hustotě vzduchu a dalších vlastnostech.

Co z experimentu plyne?
Je důvodem pomalejšího pádu pera to, že na něj gravitace „působí méně“?

Zobrazit odpověď

Ne. Rozdíl, který běžně pozorujeme při pádu pera a kuličky, způsobuje především odpor vzduchu.

Ve vakuu mají všechna tělesa na stejném místě stejné tíhové zrychlení bez ohledu na svou hmotnost.

Galileo a padající tělesa

Myšlenka, že rychlost pádu není jednoduše určena hmotností tělesa, je spojena především se jménem Galileo Galilei.

Starší aristotelská představa předpokládala, že těžší tělesa padají rychleji. Galileovy úvahy a experimenty ukázaly, že při zanedbání odporu prostředí je pád těles popsán stejným zrychlením.

Známý příběh o Galileovi shazujícím koule ze šikmé věže v Pise je historicky sporný. Pro Galileův výzkum pohybu byly zásadní především experimenty se zpomaleným pohybem na nakloněné rovině a jeho matematický popis pohybu.

Jak můžeme volný pád změřit?

Volný pád probíhá rychle. Chceme-li zjistit, jak se během něj mění pohyb tělesa, musíme dokázat určit jeho polohu v přesně známých okamžicích. K tomu lze použít zařízení nazývané padostroj.

Kovová kulička je na začátku držena v horní části zařízení. Po jejím uvolnění padá podél svislého měřítka. Padostroj umožňuje zaznamenat polohu kuličky v pravidelných časových intervalech. Z těchto údajů můžeme určit, jak se během pádu mění její rychlost.

Padostroj nám umožňuje převést velmi rychlý pohyb na řadu změřených poloh v přesně známých časech.

Model měření padostrojem

Spusťte pád. Modré značky ukazují polohu kuličky po stejně dlouhých časových intervalech.

Elektromagnet
před začátkem měření drží kovovou kuličku

magnet

Po spuštění zůstane na obrázku záznam poloh kuličky.

Co bychom měli v záznamu hledat?
Čas mezi dvěma sousedními značkami je vždy stejný. Jsou stejné také vzdálenosti mezi značkami?

Zobrazit vysvětlení

Ne. Vzdálenosti mezi následujícími polohami kuličky se postupně zvětšují.

Za stejně dlouhé časové intervaly tedy kulička urazí stále větší dráhu. Její rychlost roste.

Volný pád proto není rovnoměrný pohyb, ale rovnoměrně zrychlený pohyb.

Tíhové zrychlení

Měřením pohybu padajícího tělesa zjistíme, že jeho rychlost se při zanedbání odporu vzduchu mění pravidelně.

Zrychlení padajících těles v blízkosti povrchu Země označujeme symbolem g. Vektor tíhového zrychlení míří přibližně svisle dolů.

g ≈ 9,81 m/s²

Pro jednoduché výpočty často používáme přibližnou hodnotu

g ≈ 10 m/s².

Hodnota g není na celé Zemi úplně stejná. Mírně závisí například na zeměpisné šířce a nadmořské výšce.

Co znamená 10 m/s²?

Pro názornost použijme g = 10 m/s². Při volném pádu z klidu se velikost rychlosti každou sekundu zvětší přibližně o 10 m/s.

0 s ↓ 0 m/s

1 s ↓ 10 m/s

2 s ↓ 20 m/s

3 s ↓ 30 m/s

4 s ↓ 40 m/s

Rychlost a dráha při volném pádu

Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí. Můžeme proto použít vztahy z předchozí kapitoly a místo a dosadit g.

Rychlost

v = gt

Uražená dráha

s = 1 2 gt²

Kámen pustíme z klidu. Jakou dráhu urazí za 2 s a jakou bude mít v tomto okamžiku rychlost? Použijte g ≈ 10 m/s².

Zobrazit řešení

Rychlost:

v = gt = 10 · 2 = 20 m/s.

Dráha:

s = ½gt² = ½ · 10 · 2² = 20 m.

Číselná shoda 20 m/s a 20 m je v tomto příkladu náhodná. Jde o dvě různé fyzikální veličiny s různými jednotkami.

Z jaké výšky získáme rychlost 50 km/h?

Rychlost 50 km/h známe například z jízdy autem v obci. Z jaké výšky by ale muselo těleso volně spadnout, aby mělo těsně před dopadem právě takovou rychlost?

Než začnete počítat:
Tipněte si. Z jaké výšky musíme spadnout, aby rychlost těsně před dopadem byla přibližně 50 km/h?

1 m,
5 m,
10 m,
25 m,
50 m?

Nejprve převedeme rychlost:

50 km/h = 50 3,6 m/s ≈ 13,9 m/s.

Pro volný pád známe vztahy

v = gt

s = ½gt².

Z prvního vztahu vyjádříme čas:

t = v g .

Po dosazení do vztahu pro dráhu a úpravě dostaneme:

v² = 2gs

a tedy

s = v² 2g

Dosadíme:

s = 13,9² 2 · 9,81 ≈ 9,8 m.

Těleso padající z výšky přibližně 10 metrů má při zanedbání odporu vzduchu těsně před dopadem rychlost přibližně 50 km/h.

Těsně před dopadem má tedy stejnou velikost rychlosti jako automobil jedoucí rychlostí 50 km/h. To však neznamená, že jsou následky pádu a nárazu automobilu automaticky stejné. Při nárazu je velmi důležité také to, na jaké dráze a za jak dlouhou dobu dojde k zastavení.

A co jiné rychlosti?

Ze vztahu

s = v² 2g

vidíme, že potřebná výška roste s druhou mocninou rychlosti.

Rychlost	Rychlost [m/s]	Výška pádu
30 km/h	8,3	≈ 3,5 m
50 km/h	13,9	≈ 9,8 m
90 km/h	25,0	≈ 31,9 m
130 km/h	36,1	≈ 66,5 m

Například dvojnásobná rychlost odpovídá čtyřnásobné výšce pádu.

Co se stane, když míček vyhodíme vzhůru?

Teď těleso nepouštíme z klidu, ale udělíme mu počáteční rychlost v₀ svisle vzhůru.

Tíhové zrychlení ale stále míří dolů.

Při pohybu vzhůru míří rychlost vzhůru, ale zrychlení dolů. Míček proto zpomaluje. Po dosažení nejvyššího bodu začne padat. Rychlost i zrychlení pak míří dolů a míček zrychluje.

Vyhoďte míček vzhůru

Počáteční rychlost: v₀ = 20 m/s

Než pohyb spustíte, zkuste odhadnout: jak vysoko míček vystoupá?

t = 0,00 s
v = 20,0 m/s
y = 0,0 m

Výška y(t)

Rychlost v(t)

Jak svislý vrh popíšeme?

Zvolme kladný směr vzhůru. Počáteční rychlost v₀ je tedy kladná, zatímco tíhové zrychlení míří opačným směrem.

Proto je zrychlení

a = −g.

Pro okamžitou rychlost dostaneme:

v = v₀ − gt

A pro výšku vzhledem k místu vrhu:

y = v₀t − 1 2 gt²

Co se děje v nejvyšším bodě?

Jak míček stoupá, jeho rychlost se postupně zmenšuje. V nejvyšším bodě je na jediný okamžik

v = 0.

Je v nejvyšším bodě nulové také zrychlení?

Zobrazit odpověď

Ne. Tíhové zrychlení působí i v nejvyšším bodě.

g ≈ 9,81 m/s²

a stále míří dolů. Právě proto se rychlost po dosažení vrcholu začne měnit z nulové hodnoty směrem dolů.

Jak dlouho míček stoupá?

V nejvyšším bodě je v = 0. Dosadíme tedy do vztahu pro rychlost:

0 = v₀ − gt_v.

Odtud:

t_v = v₀ g

Čím větší počáteční rychlost tělesu udělíme, tím déle bude stoupat.

Jak vysoko míček vystoupá?

Do vztahu pro výšku dosadíme dobu výstupu

t_v = v₀ g .

Po úpravě dostaneme výšku vrhu:

h = v₀² 2g

Výška vrhu závisí na druhé mocnině počáteční rychlosti. Dvojnásobná počáteční rychlost tedy znamená čtyřnásobnou výšku vrhu.

Míček vyhozený rychlostí 20 m/s

Míček vyhodíme svisle vzhůru počáteční rychlostí

v₀ = 20 m/s.

Pro jednoduchost použijeme g = 10 m/s².

Určete:

dobu výstupu,
maximální výšku,
celkovou dobu letu zpět do místa vrhu.

Zobrazit řešení

1. Doba výstupu

t_v = 20 10 = 2 s.

2. Maximální výška

h = 20² 2 · 10 = 400 20 = 20 m.

3. Celková doba letu

Při zanedbání odporu vzduchu trvá návrat z nejvyššího bodu do původní výšky stejně dlouho jako výstup.

t = 2 · 2 = 4 s.

Cesta vzhůru a cesta dolů

Pokud zanedbáme odpor vzduchu a těleso se vrátí do stejné výšky, ze které bylo vyhozeno, má pohyb zajímavou symetrii.

Výstup	Sestup
rychlost míří vzhůru	rychlost míří dolů
velikost rychlosti se zmenšuje	velikost rychlosti se zvětšuje
zrychlení míří dolů	zrychlení míří dolů
v určité výšce má rychlost určitou velikost	ve stejné výšce má rychlost stejnou velikost

V nejvyšším bodě se mění směr rychlosti, nikoli směr tíhového zrychlení. Tíhové zrychlení míří po celou dobu dolů.

Co si z kapitoly odnést

Volný pád je pohyb způsobený gravitací, při jehož popisu zanedbáváme odpor vzduchu.
Ve vakuu mají různá tělesa na stejném místě stejné tíhové zrychlení.
Padostroj umožňuje zaznamenávat polohu padajícího tělesa v přesně známých časových okamžicích.
V blízkosti povrchu Země je g ≈ 9,81 m/s², pro jednoduché výpočty často používáme 10 m/s².
Pro volný pád z klidu platí v = gt a s = ½gt².
Pro volný pád z klidu lze také použít vztah v² = 2gs.
Při svislém vrhu vzhůru míří rychlost zpočátku vzhůru, ale tíhové zrychlení po celou dobu dolů.
Při kladném směru vzhůru platí v = v₀ − gt .
Výšku popisuje vztah y = v₀t − ½gt² .
V nejvyšším bodě je rychlost nulová, ale zrychlení nulové není.
Doba výstupu je t_v = v₀/g .
Výška vrhu je h = v₀²/(2g) .

Časté omyly

„Těžší těleso musí padat rychleji.“ Ne, pokud zanedbáme odpor vzduchu. Ve vakuu mají různá tělesa na stejném místě stejné tíhové zrychlení.
„Když pero padá pomaleji než kámen, má menší tíhové zrychlení.“ Pozorovaný rozdíl při běžném pádu způsobuje především odpor vzduchu.
„Hodnota g = 9,81 m/s² znamená, že těleso padá rychlostí 9,81 m/s.“ Ne. Jde o zrychlení. Rychlost se při volném pádu každou sekundu změní přibližně o 9,81 m/s.
„Vyhozený míček má při pohybu vzhůru zrychlení vzhůru.“ Ne. Po opuštění ruky míří jeho tíhové zrychlení dolů, tedy proti směru rychlosti.
„V nejvyšším bodě je rychlost i zrychlení nulové.“ Nulová je pouze okamžitá rychlost. Tíhové zrychlení stále míří dolů.
„Po dosažení nejvyššího bodu začne na těleso působit gravitace.“ Gravitace působí po celou dobu letu – při cestě vzhůru, v nejvyšším bodě i při pádu.
„Pád z výšky 10 m je úplně totéž jako náraz auta v 50 km/h.“ Stejná je přibližně velikost rychlosti těsně před zastavováním. Průběh samotného nárazu ale závisí například na době a dráze, na které se pohyb zastaví.

Otázky na závěr

1. Co rozumíme volným pádem?

Volný pád je pohyb tělesa způsobený gravitací, při kterém zanedbáváme odpor prostředí. V blízkosti povrchu Země jej můžeme přibližně považovat za rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb.

2. K čemu slouží padostroj?

Padostroj umožňuje sledovat pohyb padajícího tělesa v přesně známých časových okamžicích. Ze zaznamenaných poloh lze určit, jak se při pádu mění rychlost tělesa.

3. Proč na Zemi padá list papíru pomaleji než kovová kulička?

Kvůli odporu vzduchu. Ten má na pohyb lehkého listu s velkou plochou mnohem výraznější vliv. Ve vakuu by obě tělesa padala se stejným zrychlením.

4. Co znamená hodnota g ≈ 9,81 m/s²?

Udává velikost tíhového zrychlení. Při volném pádu se velikost rychlosti tělesa každou sekundu zvětší přibližně o 9,81 m/s, pokud můžeme g považovat za konstantní.

5. Jakou rychlost má těleso po 3 s volného pádu? Použijte g = 10 m/s².

v = gt = 10 · 3 = 30 m/s.

6. Jakou dráhu urazí za stejné 3 s?

s = ½gt² = ½ · 10 · 3² = 45 m.

7. Přibližně z jaké výšky musí těleso spadnout, aby dosáhlo rychlosti 50 km/h?

Nejprve převedeme rychlost:

50 km/h ≈ 13,9 m/s.

Použijeme vztah

s = v² 2g .

Po dosazení vyjde

s ≈ 9,8 m,

tedy přibližně 10 m.

8. Jaký směr má rychlost a zrychlení míčku při letu vzhůru?

Rychlost míří vzhůru, zatímco tíhové zrychlení míří dolů. Proto se velikost rychlosti zmenšuje.

9. Jaká je rychlost a zrychlení v nejvyšším bodě?

Okamžitá rychlost je 0 m/s.

Tíhové zrychlení ale zůstává přibližně 9,81 m/s² směrem dolů.

10. Míček vyhodíme rychlostí 10 m/s. Jak vysoko vystoupá? Použijte g = 10 m/s².

h = v₀² 2g = 10² 2 · 10 = 5 m.

11. Co se stane s výškou vrhu, když počáteční rychlost zdvojnásobíme?

Protože

h ∼ v₀²,

bude maximální výška čtyřnásobná.

Slovníček

volný pád free fall

padostroj free-fall apparatus

tíhové zrychlení gravitational acceleration

vakuum vacuum

odpor vzduchu air resistance

svislý vrh vzhůru vertical throw upward

počáteční rychlost initial velocity

doba výstupu time to maximum height

výška vrhu maximum height

Zdroje

NASA: Apollo 15 Hammer-Feather Drop. Experiment astronauta Davida Scotta na povrchu Měsíce, 1971.

NASA: Apollo 15 Mission. Informace o misi Apollo 15.

Galileo Galilei: Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences, 1638.