Vztlaková síla a Archimedův zákon
Královská koruna váží přesně tolik, kolik zlata dostal zlatník. Přesto v ní může být část zlata nahrazena levnějším stříbrem. Korunu ale nesmíte rozřezat ani roztavit. Jak podvod odhalíte?
Římský autor Vitruvius tento úkol spojil s Archimédem a jeho slavným zvoláním „Heuréka!“. Příběh zapsal až zhruba dvě století po Archimédově smrti a popsané přelévání vody by nebylo příliš přesné. Fyzikální jádro otázky je však výborné: dvě stejně těžká tělesa mohou mít různý objem — a voda na ně potom nepůsobí stejně.
Je těleso ve vodě opravdu lehčí?
Zavěste těleso na siloměr a odečtěte sílu ve vzduchu. Potom těleso zcela ponořte do vody tak, aby se nedotýkalo dna ani stěn nádoby. Siloměr ukáže menší hodnotu, ačkoli se hmotnost tělesa nezměnila.
Nejprve předpovězte výsledek
Na ponořené těleso působí kromě tíhové síly FG směrem dolů také vztlaková síla Fvz směrem vzhůru. Siloměr proto měří jen výslednou sílu:
Fsiloměr = FG − Fvz, tedy Fvz = FG − Fsiloměr.Proč kapalina tlačí vzhůru?
Hydrostatický tlak roste s hloubkou. Na horní stěnu ponořeného kvádru proto kapalina působí menší tlakovou silou než na jeho dolní stěnu. Síly na protilehlé svislé stěny jsou stejně velké a opačně orientované, takže se vyruší. Zůstane výslednice směřující vzhůru.
Označme obsah horní i dolní podstavy kvádru S, jejich hloubky h1 a h2, hustotu kapaliny ρ a výšku kvádru h = h2 − h1. Potom:
Fvz = F2 − F1 = S h2ρg − S h1ρg = S(h2 − h1)ρg.Součin S(h2 − h1) je objem kvádru V. Dostáváme:
Fvz = Vρg.Platí odvození jen pro kvádr?
Ne. Kvádr umožňuje snadno porovnat síly na horní a dolní stěnu. Stejný výsledek platí pro libovolný tvar: výslednice tlakových sil se rovná tíze kapaliny o objemu ponořené části tělesa.
Archimédův zákon
Na čem závisí?
- na objemu ponořené části tělesa,
- na hustotě kapaliny,
- na tíhovém zrychlení.
Na čem nezávisí?
Za předpokladu stejného ponořeného objemu a stejné kapaliny:
- na hmotnosti tělesa,
- na hloubce úplně ponořeného tělesa v nestlačitelné kapalině,
- na tvaru tělesa.
Unese voda ponořený kámen?
Kámen o objemu 250 cm³ zcela ponoříme do vody. Jak velká vztlaková síla na něj působí? Změňte případně hodnoty a porovnejte výsledek pro jiný objem nebo kapalinu.
Klesá, vznáší se, nebo plove?
O chování tělesa rozhoduje porovnání tíhové a vztlakové síly. U zcela ponořeného stejnorodého tělesa lze totéž vyjádřit porovnáním průměrné hustoty tělesa a hustoty kapaliny.
ρt > ρk
ρt = ρk
ρt < ρk
Jakmile těleso vystoupí částečně nad hladinu, jeho ponořený objem se zmenší. Vztlaková síla klesá, dokud se nevyrovná tíze. Proto plovoucí těleso zůstává ponořeno právě takovou částí svého objemu, aby vytlačená kapalina měla stejnou hmotnost jako těleso.
VponořenéVcelkové = ρtělesaρkapalinyJak hluboko se ponoří dřevěný kvádr?
Dřevěný kvádr o průměrné hustotě 700 kg·m⁻³ položíme na vodu. Bude plovat, vznášet se, nebo klesne? Pokud plove, určete, jaká část jeho objemu zůstane pod hladinou.
Jak může ocelová loď plovat?
Samotná ocel je hustší než voda, ale loď není plný kus oceli: obsahuje velké množství vzduchu. Průměrná hustota celé lodi je proto menší než hustota vody. Při naložení se loď ponoří hlouběji, vytlačí více vody a získá větší vztlakovou sílu.
Rozuzlení královské koruny
Koruna a stejné množství čistého zlata mají ve vzduchu stejnou tíhu. Jestliže však zlatník nahradil část zlata lehčím stříbrem, musí mít koruna při stejné hmotnosti větší objem. Ve vodě proto vytlačí více kapaliny, působí na ni větší vztlaková síla a siloměr ukáže menší zdánlivou tíhu než u čistého zlata.
Příběh o přetékající vaně známe pouze z Vitruviova podání. Přesnější by byla hydrostatická váha: korunu a stejné množství zlata vyvážit ve vzduchu a potom obě tělesa ponořit. Pokud se rovnováha poruší, nemají stejný objem ani hustotu.
Praktické použití
Plovací měchýř ryb
Změnou objemu plynu ryba mění svůj celkový objem a průměrnou hustotu. Může tak udržovat hloubku s menším energetickým výdejem.
Balastní nádrže ponorek
Nabráním vody ponorka zvětší svou průměrnou hustotu a klesá. Vytlačením vody stlačeným vzduchem hustotu zmenší a stoupá.
Hustoměr
Plovoucí hustoměr se v hustší kapalině ponoří méně. Poloha hladiny na stupnici proto umožňuje určit hustotu kapaliny.
Plovací měření objemu
Z rozdílu údaje siloměru ve vzduchu a v kapalině lze určit objem nepravidelného tělesa a následně jeho hustotu.
Karteziánský potápěč
Do zcela naplněné uzavíratelné plastové láhve vložíme malé tělísko s bublinkou vzduchu, například kapátko nebo vhodně upravený sáček od kečupu. Potápěč má zpočátku průměrnou hustotu jen nepatrně menší než voda a plove. Po stlačení láhve se tlak přenese do kapaliny, bublina se stlačí, do potápěče vnikne více vody a jeho průměrná hustota vzroste. Potápěč klesne.
Co se při stlačení změní?
- Tlak v láhvi vzroste.
- Vzduchová bublina se stlačí.
- Objem potápěče se nepatrně zmenší a často do něj vnikne voda.
- Jeho hmotnost vůči objemu vzroste, tedy vzroste průměrná hustota.
- Tíha převáží nad vztlakovou silou a potápěč klesá.
Proč se nemá mačkat až na dno?
Jakmile se potápěč opře o dno, mohou se k silám kapaliny přidat přilnavost, tření nebo deformace. Pro čisté pozorování je lepší tlak uvolnit dříve, než se potápěč dna dotkne.
Podobné riziko existuje i u skutečných ponorek, zejména na měkkém bahnitém dně: dosednutí může zablokovat některé otvory a mezi trupem a dnem může vzniknout výrazný sací účinek, který ztíží odpoutání. Nejde však o přesně stejný jev jako u malého potápěče v láhvi. Při vyzvedávání americké ponorky USS Squalus, která se roku 1939 potopila po závadě ventilu, museli záchranáři překonávat také „přisátí“ trupu k jílovitému dnu.
Vztlaková síla v plynech
Archimédův zákon platí pro všechny tekutiny, tedy i pro plyny. Těleso v atmosféře je nadlehčováno silou rovnou tíze vytlačeného vzduchu. Protože hustota vzduchu je přibližně jen 1,2 kg·m−3, bývá účinek u běžných předmětů malý, ale u velkých objemů je rozhodující.
- Horkovzdušný balón: ohřátý vzduch uvnitř má menší hustotu než okolní vzduch.
- Heliový balón: helium je méně husté než vzduch, takže po odečtení tíhy obalu a nákladu může výsledná síla směřovat vzhůru.
- Vzducholodě: využívají velký objem lehkého plynu a mohou řídit vztlak i pohyb.
- Meteorologické sondy: s klesající hustotou atmosféry se balón rozpíná, až obvykle praskne.
Jakou hmotnost může ideálně zvednout helium?
Heliový balón má objem 1 m³. Určete výslednou sílu po odečtení tíhy samotného helia a jí odpovídající maximální hmotnost nákladu. Hmotnost obalu, koše a vybavení zatím zanedbejte.
Procvičení
1. Úplně ponořený kámen přesuneme ve vodě o metr hlouběji. Jak se změní vztlaková síla?
2. Stejné těleso ponoříme nejprve do vody a potom do hustší slané vody. Kde je vztlaková síla větší?
3. Plovoucí loď naložíme nákladem. Co se stane?
Časté omyly
„Vztlaková síla působí jen na tělesa, která plovou.“
Vztlaková síla působí na každé těleso ponořené do tekutiny, i když klesá ke dnu. Jen může být menší než jeho tíha.
„Čím hlouběji těleso je, tím větší je vztlaková síla.“
U zcela ponořeného tělesa v kapalině přibližně stálé hustoty se tlak nahoře i dole zvětší o stejnou hodnotu. Jejich rozdíl, a tedy vztlaková síla, zůstane stejný.
„Těleso ve vodě má menší tíhu.“
Tíhová síla FG = mg se nezmění. Menší je výsledná síla měřená siloměrem, protože proti tíze působí vztlaková síla.
„Těžké předměty se potopí a lehké plavou.“
Rozhodující není samotná hmotnost, ale poměr hmotnosti a objemu, tedy průměrná hustota. Velká ocelová loď může plovat, zatímco malý kamínek klesne.
Česko-anglický slovníček
- vztlaková síla
- buoyant force
- Archimédův zákon
- Archimedes’ principle
- ponořený objem
- submerged volume
- vytlačená kapalina
- displaced liquid
- zdánlivá tíha
- apparent weight
- plovat
- to float
- vznášet se
- to be suspended
- potápět se
- to sink
- hustoměr
- hydrometer
- plovací měchýř
- swim bladder
- balastní nádrž
- ballast tank
- karteziánský potápěč
- Cartesian diver